在公交车上摔倒后，关于是由保险公司赔偿还是公交公司赔偿的问题，这主要取决于摔倒的具体原因以及相关法律法规的规定。以下是对此问题的详细解答：
一、赔偿责任的确定
公交公司过错导致：
- 如果摔倒是由于公交公司的过错，如司机急刹车、起步不稳、违规操作，或者车门未完全打开即启动车辆等，导致乘客摔倒受伤，那么公交公司需要承担赔偿责任。这是因为公交公司基于与乘客的客运合同关系，有义务保障乘客的安全。
乘客自身原因或第三方原因导致：
- 如果摔倒是由于乘客自身的原因，如突发疾病、故意行为或在车内打闹等，或者是由第三方（如车内其他乘客推搡）导致的，那么公交公司可能不承担全部或部分赔偿责任。在这种情况下，责任可能由乘客自身或第三方承担。
二、赔偿范围
如果公交公司需要承担赔偿责任，赔偿范围通常包括：
- 医疗费：包括挂号费、检查费、治疗费、药费等因受伤接受治疗所支出的合理费用。
- 误工费：根据伤者因伤导致的收入损失计算。
- 护理费：伤者如需专人护理，可主张护理费。
- 交通费：伤者及其陪护人员因就医或转院治疗实际发生的交通费用。
- 营养费：根据伤者伤残情况参照医疗机构意见确定。
- 残疾赔偿金：若构成伤残，根据伤残等级和当地人均可支配收入或纯收入标准计算。
- 精神损害抚慰金：在伤者因伤造成精神痛苦的情况下，可根据伤残程度等因素酌情要求赔偿。
- 住院伙食补助费：按国家机关一般工作人员出差伙食补助标准计算。
三、保险公司的角色
- 交强险和商业险：公交车通常会投保交强险和商业险。在事故发生后，如果公交公司需要承担赔偿责任，且事故属于保险公司的承保范围，那么保险公司可能会在保险限额内进行赔偿。但需要注意的是，保险公司的赔偿范围和限额通常会在保险合同中明确规定。
- “车上人员”与“第三者”的转化：在某些情况下，“车上人员”和“第三者”的身份可以相互转化。例如，如果乘客在事故发生时已处于保险车辆之外，那么他可能被视为“第三者”，从而适用第三者责任险进行赔偿。
四、索赔流程
- 及时报警和通知公交公司：事故发生后，乘客应立即报警并向公交公司报备。
- 就医并保留证据：乘客应前往医院治疗，并妥善保管相关证据（如病历、医疗费用票据等）。
- 与公交公司协商：治疗结束后，乘客可以与公交公司协商赔偿事宜。
- 申请调解或提起诉讼：如果协商不成，乘客可以请求交通运输管理部门或相关调解机构进行调解；如果调解无果，乘客可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。
五、法律依据
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任，但伤亡是旅客自身健康原因造成的或者承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的除外。这一规定为公交公司是否承担赔偿责任提供了明确的法律依据。
综上所述，在公交车上摔倒后，赔偿责任的确定主要取决于摔倒的具体原因以及相关法律法规的规定。乘客应充分了解自己的权益和索赔流程，在遭遇此类事故时及时收集证据并咨询专业律师以维护自身权益。同时，公交公司也应加强安全管理，确保乘客在运输过程中的安全。