教师签订合同的对象，一般取决于其编制性质及具体工作安排，通常分为与学校签订和与教育局签订两种情况。以下是对此问题的详细分析：

一、与学校签订合同的情况

1. 在编教师：

   • 在编教师与学校之间构成的是聘用关系。根据相关规定，在编教师需要与学校签订聘用合同，以明确双方的权利和义务。
   • 这种聘用关系并不影响教师的编制身份，教师的编制仍然属于全额拨款事业单位编制，享受事业单位工作待遇。
   • 法律依据：《劳动合同法》第十条明确规定，建立劳动关系应当订立书面劳动合同。对于事业单位与实行聘用制的工作人员，同样需要订立、履行、变更、解除或者终止劳动合同，除非法律、行政法规或者国务院另有规定。

2. 非在编教师（如代课老师、合同制教师）：

   • 非在编教师通常也与学校直接签订劳动合同，以确立劳动关系。
   • 这类教师的合同内容、期限及待遇等可能因学校政策及双方协商而有所不同。

二、与教育局签订合同的情况

1. 特定情况下的教师：

   • 在某些特定情况下，如教育局直接招聘并派遣教师到各学校任教时，教师可能与教育局签订劳动合同。
   • 这种情况相对较少见，且通常涉及特定的招聘项目或政策。

2. 教育局作为管理方的角色：

   • 即使教师与学校签订合同，教育局也可能作为管理方参与其中，对教师的招聘、培训、考核等方面进行管理和监督。
   • 但这并不意味着教师直接与教育局签订劳动合同。

三、建议与注意事项

1. 明确合同主体：

   • 在签订劳动合同时，教师应仔细阅读合同条款，明确合同主体是学校还是教育局。
   • 如有疑问，可向学校或教育局人事部门咨询，以确保自身权益得到保障。

2. 了解合同内容：

   • 无论与学校还是教育局签订合同，教师都应了解合同的具体内容，包括工作期限、工作内容、工资待遇、社会保险等。
   • 如有不合理或不明确之处，应及时提出并协商修改。

3. 保留相关证据：

   • 在签订和履行劳动合同过程中，教师应保留好相关证据，如合同文本、工资单、考勤记录等。
   • 这些证据在发生劳动争议时可能起到关键作用。

如有关于教师合同签订的具体问题或疑虑，可以直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业的法律建议和帮助。