您好，关于教师编制是和学校签合同还是和教育局签的问题，这主要取决于教师的具体类型和招聘方式。

首先，对于编制教师来说，他们是通过教育局统一组织的编制考试考取的，拥有事业编制，享受事业单位工作待遇。这类教师通常与教育局签订聘用合同，工资由财政全额拨款。编制教师的工作非常稳定，只要不出现重大问题，基本可以一直工作到退休。

其次，对于合同制教师，情况就略有不同。合同制教师也是由教育局统一发布招聘，并通过考试录用的，但他们直接与教育局签订聘用合同（也有部分是通过第三方人才公司或学校自行招聘的，但这种情况相对较少，且待遇和稳定性可能因招聘单位而异）。合同制教师的工资同样由财政支付，但具体待遇会因招聘单位和岗位的不同而有所差异。在稳定性方面，合同制教师通常只要不违反规定，在合同期内是不会被解雇的，稳定性仅次于编制教师。

另外，还有一种情况是代课/临聘教师，这类教师通常是由于学校教师休产假或其他原因出现临时性教师短缺时聘用的。代课教师由学校自己组织招聘，工资由学校发放，且一般不缴纳五险一金。他们的聘期通常较短，稳定性较差。

以您提供的清远市清新区教育局公开招聘劳动合同制编外教师公告为例，这些招聘的劳动合同制编外教师就是与清远市清新区教育局签订劳动合同的，而不是与具体学校签订。这进一步印证了合同制教师通常与教育局签订聘用合同的情况。

综上所述，教师编制（即编制教师）通常与教育局签订聘用合同，而合同制教师也大多与教育局签订（但也有例外情况），代课/临聘教师则通常与学校签订临时聘用合同。希望这个解答能帮助您更好地理解教师编制的签约问题。如果您还有其他疑问或需要进一步的解释，请随时告诉我。