母亲住院儿子不出钱，母亲是有权起诉儿子的。以下从法律依据、起诉条件、诉讼流程及注意事项等方面进行详细阐述：
一、法律依据
根据《中华人民共和国民法典》第二十六条及第一千零六十七条的规定：
- 赡养义务：成年子女对父母负有赡养、扶助和保护的义务。这包括在父母生病时提供医疗费用等必要的经济支持。
- 扶养义务：成年子女不履行赡养义务的，缺乏劳动能力或者生活困难的父母，有要求成年子女给付赡养费的权利。这里的“赡养费”可以广义理解为包括医疗费用在内的各项生活费用。
二、起诉条件
在决定起诉之前，需要确认以下几点：
- 存在赡养关系：原告（母亲）与被告（儿子）之间存在法定的赡养关系。
- 被告未履行赡养义务：有证据证明被告在母亲住院期间未支付或未足额支付医疗费用。
- 原告缺乏经济能力：原告因疾病等原因缺乏足够的经济能力支付医疗费用。
三、诉讼流程
如果满足上述条件，母亲可以按照以下流程提起诉讼：
准备材料：
- 收集相关证据，如医疗费用清单、病历、银行流水等，以证明被告未履行赡养义务。
- 准备好起诉状，明确诉讼请求（如要求儿子支付医疗费用）和事实理由。
向法院提起诉讼：
- 将起诉状和相关证据提交给有管辖权的法院。一般来说，应向被告住所地或经常居住地的人民法院提起诉讼。
缴纳诉讼费用：
参与庭审：
- 法院受理案件后，会安排庭审。原告需按时参加庭审，陈述事实理由，提供证据，进行辩论等。
等待判决结果：
- 法院会根据审理情况作出判决。如果判决支持原告的诉讼请求，被告需按照判决履行支付医疗费用的义务。
四、注意事项
保留证据：
- 在整个过程中，务必保留好所有与案件相关的证据，以便在诉讼中提供支持。
考虑家庭关系：
- 虽然法律提供了维护权益的途径，但诉讼可能会对家庭关系造成一定影响。在提起诉讼前，可以尝试通过协商、调解等方式解决纠纷。例如，可以邀请家族长辈或亲戚朋友作为中间人进行调解，以维护家庭和睦。
申请强制执行：
- 若法院判决儿子需支付医疗费用但其仍拒绝履行，母亲可向法院申请强制执行。法院将采取一系列强制措施，如冻结银行账户、查封财产等，以确保判决得到履行，从而保障母亲的合法权益。
总结：母亲住院儿子不出钱，母亲有权通过法律途径起诉儿子要求其支付相关医疗费用。在起诉前，建议尽量通过协商或调解解决问题；若协商无果，则可依法提起诉讼并申请强制执行。法律将切实保护每个人的合法权益不受侵犯。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。