嫁出去的女儿可以起诉要求儿子承担老人生病住院的费用，但具体起诉谁以及起诉的依据需要分情况讨论。以下是我从不同角度为您进行的分析：
一、从赡养义务的角度
赡养义务是法定的：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，成年子女对父母负有赡养、扶助和保护的义务。这包括经济上的供养、生活上的照料以及精神上的慰藉。因此，无论是儿子还是女儿，都有义务承担老人生病住院的费用。
女儿可以起诉儿子：如果儿子不履行赡养义务，拒绝支付老人生病住院的费用，女儿作为同样负有赡养义务的子女，有权起诉儿子，要求其承担应尽的赡养责任。在诉讼中，女儿需要提供证据证明儿子未履行赡养义务，以及老人因此遭受的经济损失。
二、从继承权的角度
继承权与赡养义务相关联：虽然继承权与赡养义务在法律上是两个独立的概念，但在实际操作中，它们往往相互关联。如果儿子在老人健在时未履行赡养义务，那么在老人去世后，其继承权可能会受到影响。不过，这并不意味着女儿可以直接起诉儿子要求其支付老人生病住院的费用，而是可以在继承纠纷中主张儿子因未履行赡养义务而应少分或不分遗产。
女儿可主张自己的继承权：如果女儿认为儿子未履行赡养义务，且这种行为影响了老人的生活质量或导致了额外的经济损失，女儿可以在处理老人遗产时，主张自己的继承权，并要求儿子因其未履行赡养义务而承担相应的责任。但这并不直接解决老人生病住院费用的支付问题，而是涉及遗产分配时的考量。
三、从实际操作的角度
收集证据是关键：无论女儿选择从哪个角度起诉，收集证据都是关键。这包括老人生病住院的医疗费用单据、儿子未履行赡养义务的证据（如聊天记录、证人证言等）以及老人因此遭受的经济损失的证明。
考虑诉讼成本和效果：在决定起诉前，女儿需要权衡诉讼的成本和效果。诉讼可能涉及时间、金钱和精力的投入，而且结果并不总是如人所愿。因此，在决定起诉前，女儿可以尝试与儿子进行协商，看是否能够达成和解。
寻求法律援助或咨询：如果女儿对法律程序不熟悉或担心自己无法有效维护权益，可以寻求法律援助或咨询专业律师。律师可以提供专业的法律意见和帮助，确保女儿的权益得到最大程度的保护。
建议：如果老人生病住院儿子不出钱，嫁出去的女儿可以先与儿子进行协商，尝试达成和解。如果协商无果，女儿可以考虑起诉儿子要求其承担赡养责任。在起诉前，女儿需要收集充分的证据，并考虑诉讼的成本和效果。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。