未办理收养手续的情况下，双方之间不存在法律上的收养关系，因此无需通过法律程序来“断绝”这种关系，但可以通过协商或诉讼等方式处理事实上的抚养关系。具体分析如下：

一. 不存在法律上的收养关系

• 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合法的收养关系必须依法办理收养登记。未经登记的收养行为，在法律上不具有效力。因此，未办理收养手续的情况下，双方之间并不存在法律认可的收养关系。

二. 处理事实上的抚养关系

1. 协商解除：如果双方能够就解除事实上的抚养关系达成一致意见，且对未成年人的抚养、教育等事宜作出妥善安排，可以通过签订解除抚养关系的协议来明确双方的权利义务。虽然该协议不具有法律上正式解除收养关系的效力，但对于双方的行为具有一定的约束作用。
2. 诉讼解除：如果双方因各种原因产生矛盾，无法通过协商解决，可以向人民法院提起诉讼，请求法院确认并解除这种事实上的抚养关系。法院将会根据双方的实际情况、未成年人的利益以及双方的抚养能力和条件等因素，依法作出裁决。

三. 注意事项

• 在处理事实上的抚养关系时，应尊重双方的意愿和实际情况，确保未成年人的合法权益不受侵害。
• 如果涉及财产分割或补偿问题，双方应协商解决；协商不成的，也可以由法院根据具体情况作出判决。

综上所述，未办理收养手续的情况下，双方之间不存在法律上的收养关系，但可以通过协商或诉讼等方式处理事实上的抚养关系。如有进一步需要，您可以继续咨询我。