当申请追加被执行人的请求被驳回时，您可以采取以下措施来维护自己的合法权益：

1. 审查驳回理由：

   • 首先，务必仔细审查法院驳回追加被执行人的理由，这通常会在法院的裁定书或驳回通知中明确说明。了解驳回的具体原因，是后续采取应对策略的基础。
   • 若您认为驳回决定存在事实认定或法律适用方面的错误，那么在规定的期限内，您可以向上一级法院申请复议。在申请复议时，应详细阐述原申请的合理性及驳回裁定的不合理之处，并摆出正确的法律依据和事实情况。

2. 重新申请或提出异议：

   • 重新申请：如果驳回是因为证据不足或理由不充分，且您后续发现了新的证据或法律依据，能够支持追加被执行人的申请，那么您可以整理撰写补充材料，再次向法院提交追加申请。这样做可以让法院重新审视案件，有可能改变之前的驳回决定。
   • 提出执行异议：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的规定，您也可以向负责执行的法院提出书面异议申请。如果认为执行行为违反法律规定或侵害了自己的合法权益，执行异议是一种有效的救济途径。若异议成立，法院会裁定撤销或改正相关执行行为。

3. 考虑执行异议之诉：

   • 如果复议或重新申请均未得到支持，且您认为自己的权益受到了严重侵害，那么您可以考虑提起执行异议之诉。在执行异议之诉中，您需对其主张承担相应的举证责任，向法院充分说明应当追加被执行人的事实和法律依据。法院将对相关事实和法律适用进行全面审查，以判定是否应当追加被执行人。

4. 注意事项：

   • 在采取上述措施时，请确保所有行动都符合相关法律规定，避免违法行为带来的不利后果。
   • 保留好所有与案件相关的证据和文件，以便在需要时能够及时提供。这些证据和文件对于支持您的主张和应对可能的法律挑战至关重要。
   • 与执行法院保持沟通，及时了解案件进展和执行情况。这有助于您更好地掌握案件动态，调整应对策略。

面对申请追加被执行人请求被驳回的情况，您不应轻易放弃。通过仔细审查驳回理由、重新申请或提出异议、考虑执行异议之诉等措施，您仍然有机会维护自己的合法权益。如果您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。