判决书下来后，抚养权可以私下变更，但建议通过签订书面协议并公证的方式明确变更事宜。以下是对此问题的详细分析：
一. 抚养权变更的两种方式
协议变更
- 法律依据：根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第五十七条，父母双方可以协议变更子女的抚养关系。只要双方达成一致，且协议内容不违反法律规定、不损害子女利益，人民法院将予支持。
- 操作方式：双方可就抚养权变更的具体事宜（如抚养费的支付、探望权的行使等）进行协商，并签订书面协议。为增强协议的法律效力，双方还可以选择对协议进行公证。
诉讼变更
- 法律依据：同样依据上述司法解释，如果父母一方希望变更抚养权，而另一方不同意，那么可以通过诉讼的方式来解决。要求变更子女抚养关系的一方应当另行提起诉讼。
- 适用情形：诉讼变更抚养权通常适用于出现特定情形时，如与子女共同生活的一方因患严重疾病或因伤残无力继续抚养子女；不尽抚养义务或有虐待子女行为，或其与子女共同生活对子女身心健康确有不利影响；已满八周岁的子女愿随另一方生活，且该方有抚养能力等。
二. 私下变更抚养权的注意事项
- 法律效力：虽然抚养权可以私下变更，但为了确保变更的法律效力，建议双方签订书面协议并进行公证。这样，在日后发生争议时，协议可以作为有力的证据。
- 子女利益：在变更抚养权时，应始终将子女的利益放在首位。双方应充分考虑子女的身心健康、成长环境等因素，确保变更后的抚养安排有利于子女的成长。
- 法律程序：如果双方无法就抚养权变更达成一致，或者变更后的情况发生了变化，可能仍需要通过法律程序来确认或调整抚养权。
我建议：在判决书下来后，如果双方希望变更抚养权，应首先尝试通过协商达成一致，并签订书面协议进行公证。这样不仅可以确保变更的法律效力，还可以避免日后可能发生的争议。如有进一步需要，您可以继续咨询我。