结论前置：员工受伤死亡后，既可以选择起诉雇主，也可以选择起诉保险公司，但具体选择及操作方式需根据实际情况和法律程序来决定。以下是详细分析：

1. 起诉雇主：

   • 法律依据：根据《工伤保险条例》及相关劳动法律法规，员工在工作过程中因工作原因受到事故伤害或患职业病，有权享受工伤保险待遇。若雇主未依法为员工缴纳工伤保险，员工或其家属有权要求雇主按照工伤保险待遇项目和标准支付费用。
   • 适用情形：当雇主未履行缴纳工伤保险的义务，或雇主对事故的发生存在过错（如未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训等），员工或其家属可以选择起诉雇主，要求其承担相应的赔偿责任。
   • 操作建议：在起诉雇主前，建议先收集相关证据，如工作证明、事故现场照片、医疗记录等，以证明事故的发生与工作有关，以及雇主可能存在的过错。

2. 起诉保险公司：

   • 法律依据：雇主险是一种商业保险，旨在为雇主提供因员工在工作过程中发生意外事故而导致的经济赔偿责任保障。若雇主已为员工购买了雇主险，且事故属于保险责任范围，员工或其家属有权向保险公司提出索赔。
   • 适用情形：当雇主已依法为员工缴纳工伤保险，并额外购买了雇主险作为补充，且事故符合保险条款的约定时，员工或其家属可以选择直接起诉保险公司，要求其按照保险合同约定支付赔偿金。
   • 操作建议：在起诉保险公司前，需仔细阅读保险合同条款，了解保险责任范围、免责条款及索赔程序。同时，收集并提交与事故相关的所有证据，如保险单、事故报告、医疗证明等。

3. 综合考量：

   • 在实际操作中，员工或其家属可能需要根据具体情况选择同时起诉雇主和保险公司，或先向其中一方提出索赔，再视情况决定是否向另一方追偿。
   • 若事故涉及多方责任（如雇主、第三方等），则可能需要通过法律程序明确各方责任比例，并据此进行索赔。

特别提醒：在处理此类纠纷时，建议员工或其家属及时咨询专业律师，以确保自身权益得到充分保障。如果你有进一步的法律问题或需要具体的法律建议，可以直接向我咨询。