在雇佣关系中发生事故，若涉及工伤认定和赔偿问题，应由当地的劳动保障行政部门（通常为人力资源和社会保障局）负责管理。以下从不同角度为您详细分析：

一、劳动保障行政部门的职责

1. 工伤认定：

   • 根据《工伤保险条例》的相关规定，职工发生事故伤害或者按照职业病防治法规定被诊断、鉴定为职业病，所在单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门（即劳动保障行政部门）提出工伤认定申请。
   • 劳动保障行政部门在收到工伤认定申请后，会进行调查核实，并在规定时间内作出工伤认定决定。

2. 工伤赔偿：

   • 一旦工伤认定决定作出，劳动保障行政部门会指导用人单位和工伤职工按照工伤保险的相关规定进行赔偿。
   • 赔偿项目包括医疗费、住院伙食补助费、交通费、食宿费、康复治疗费、辅助器具费、停工留薪期工资、护理费、一次性伤残补助金等。

二、用人单位的责任

1. 及时申报工伤：

   • 用人单位在职工发生工伤事故后，应及时向当地劳动保障行政部门申报工伤，并按照规定的程序进行工伤认定。
   • 逾期不申报的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。

2. 配合工伤认定和赔偿：

   • 用人单位应积极配合劳动保障行政部门的调查核实工作，提供必要的证据和资料。
   • 在工伤认定决定作出后，用人单位应按照工伤保险的相关规定及时支付工伤职工的赔偿费用。

三、工伤职工的权益

1. 申请工伤认定：

   • 工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，有权向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。

2. 享受工伤医疗待遇和赔偿：

   • 工伤职工在认定工伤后，有权享受工伤医疗待遇，包括医疗费、住院伙食补助费、交通费、食宿费等费用的报销。
   • 同时，工伤职工还有权根据伤残等级享受一次性伤残补助金、伤残津贴等赔偿。

四、特殊情况的处理

1. 非全日制员工的工伤认定：

   • 对于非全日制员工，如果其与用人单位建立了劳动关系，并在工作中发生事故伤害，同样可以申请工伤认定并享受工伤保险待遇。

2. 未参加工伤保险的工伤赔偿：

   • 如果用人单位未参加工伤保险，工伤职工的赔偿费用将由用人单位承担。此时，劳动保障行政部门会指导工伤职工通过法律途径向用人单位追偿。

建议：在雇佣关系中发生事故后，用人单位和工伤职工都应及时向当地劳动保障行政部门申报工伤，并按照规定的程序进行工伤认定和赔偿。如果遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。