结论前置：针对您描述的情况，即亲戚借款1万元用于手术后去世，其家人不愿意偿还，这主要涉及到债务的继承与清偿问题。以下是从不同角度对此问题的详细分析。
一、债务的继承
债务是否属于遗产的一部分：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗产是公民死亡时遗留的个人合法财产。而债务并不属于遗产的范畴，但继承人如果继承了遗产，则需要在继承的遗产实际价值范围内承担被继承人的债务清偿责任。
继承人的责任：
- 如果亲戚的家人继承了其遗产，那么他们有义务在继承的遗产范围内偿还这笔债务。如果遗产不足以清偿全部债务，继承人无需以个人财产超出遗产实际价值部分来清偿。
- 如果亲戚的家人选择放弃继承，那么他们就不需要承担这笔债务的清偿责任。
二、债务的清偿方式
与继承人协商：
- 您可以尝试与亲戚的家人进行协商，看是否能够达成一个还款协议。在协商过程中，可以明确债务的金额、还款期限以及还款方式等细节。
通过法律途径解决：
- 如果协商无果，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。具体来说，可以向法院提起诉讼，要求亲戚的继承人在继承的遗产范围内偿还债务。
- 在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来证明债务的存在以及亲戚的家人继承了遗产的事实。
三、实际操作中的注意事项
收集证据：
- 在采取任何行动之前，确保您已经收集了足够的证据来证明债务的存在，如借条、转账记录等。这些证据将在后续的协商或诉讼过程中发挥关键作用。
了解继承情况：
- 在采取法律行动之前，了解亲戚的遗产继承情况，包括继承人是谁、继承了多少遗产等。这将有助于您确定诉讼的对象和金额。
考虑诉讼成本：
- 在决定是否提起诉讼时，需要考虑诉讼成本，包括时间、金钱和精力等。如果债务金额较小，而诉讼成本较高，那么可能需要权衡利弊后再做决定。
四、可能的法律后果
如果继承人愿意偿还：
如果继承人不愿意偿还且法院判决支持您的诉求：
- 那么继承人需要在继承的遗产范围内偿还债务。如果继承人仍然不履行判决，您可以申请法院强制执行。
如果继承人放弃继承或遗产不足以清偿债务：
- 那么您可能无法完全收回借款。在这种情况下，您可能需要考虑接受部分损失或寻找其他解决方案。
建议：针对您的情况，我建议您首先尝试与亲戚的家人进行协商，看是否能够达成一个还款协议。如果协商无果，您可以考虑咨询专业律师（即我本人，韩丹律师，专注于经济纠纷、法律顾问领域）并准备相关证据向法院提起诉讼。在处理此类问题时，请务必保持冷静和理性，依法维护自己的权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。