针对您提出的“解雇员工未办理失业登记法律责任是什么”这一问题，以下是我为您提供的详细解答：

首先，我们需要明确的是，当用人单位与劳动者解除或终止劳动合同时，用人单位有义务在法定时限内为劳动者出具解除或终止劳动合同的证明书，并办理相关的失业登记手续。这是用人单位的法定义务，也是保障劳动者合法权益的重要措施。

如果用人单位未在法定时限内为劳动者办理失业登记，可能会导致劳动者无法享受失业待遇。具体来说，根据《劳动合同法》第五十条的规定，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。如果用人单位违反这一规定，未向劳动者出具解除或者终止劳动合同的书面证明，根据《劳动合同法》第八十九条，将由劳动行政部门责令改正；如果给劳动者造成损害的，用人单位还应当承担赔偿责任。

此外，根据《失业保险金申领发放办法》第六条的规定，失业人员应在终止或者解除劳动合同之日起60日内到受理其单位失业保险业务的经办机构申领失业保险金。如果因为用人单位未及时办理失业登记而导致劳动者错过申领失业保险金的时限，那么用人单位可能需要承担相应的法律责任，包括赔偿劳动者因此遭受的失业损失。

综上所述，解雇员工未办理失业登记的法律责任主要包括：由劳动行政部门责令改正，并可能承担因未及时办理失业登记给劳动者造成的失业损失的赔偿责任。因此，作为用人单位，在解除或终止与劳动者的劳动合同时，务必严格遵守相关法律法规，及时为劳动者办理失业登记手续，以保障劳动者的合法权益并避免不必要的法律风险。