当单位未签劳动合同且无正当理由解雇员工时，需要承担多项赔偿责任。以下是对此问题的详细解答：
赔偿责任概述
双倍工资支付：
- 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 若超过一年未签，则视为双方已订立无固定期限劳动合同，但此期间仍应支付双倍工资的差额部分。
经济补偿与赔偿金：
- 根据《劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 若用人单位违法解除或终止劳动合同，根据《劳动合同法》第八十七条，应依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
赔偿金额计算与解决措施
计算赔偿金额：
- 员工需根据自身工作时长和工资标准，计算出单位应支付的赔偿数额。
- 例如，工作1年3个月、月工资5000元的员工，未签合同部分可获得约55000元（11个月*5000元）的双倍工资差额，违法解除部分可获得10000元（2个月*5000元）的赔偿金。
与单位协商：
- 劳动者可先与单位协商赔偿事宜，争取通过和平方式解决争议。
申请劳动仲裁：
- 若协商无果，劳动者可在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 仲裁机构将依法进行裁决，要求单位支付未签合同的双倍工资差额及违法解除劳动合同的赔偿金。
提起诉讼：
- 对仲裁裁决不服的，劳动者可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
法律依据与争议解决途径
- 法律依据：主要依据《劳动合同法》的相关规定，包括第八十二条、第四十七条和第八十七条。
- 争议解决途径：除了协商和仲裁外，还可以通过调解和诉讼等方式解决争议。调解可向企业劳动争议调解委员会或依法设立的基层人民调解组织申请；诉讼则是对仲裁裁决不服时的最后救济途径。
综上所述，单位未签劳动合同且无正当理由解雇员工时，需承担双倍工资支付、经济补偿与赔偿金等多项责任。劳动者应根据自身情况计算赔偿金额，并通过协商、仲裁或诉讼等途径维护自身权益。