在行政案件办理期间，违法嫌疑人提出聘请律师的，公安机关应当允许并为其提供必要的便利。具体分析如下：

1. 法律赋予的权利：

   • 根据《中华人民共和国行政处罚法》及相关法律法规，违法嫌疑人在行政案件办理过程中享有陈述、申辩的权利，同时也享有聘请律师提供法律帮助的权利。这是保障当事人合法权益、确保行政程序公正性的重要体现。

2. 公安机关的义务：

   • 公安机关在办理行政案件时，应当尊重并保障违法嫌疑人的合法权益，包括其聘请律师的权利。公安机关不得以任何理由拒绝或限制违法嫌疑人聘请律师，也不得对律师的正常执业活动进行干扰或阻碍。

3. 具体操作流程：

   • 当违法嫌疑人提出聘请律师的请求时，公安机关应当及时告知其相关权利，并为其提供必要的便利，如允许律师会见、查阅案卷材料等。同时，公安机关应当确保律师在会见或查阅案卷材料时，不会泄露国家秘密、商业秘密或个人隐私等敏感信息。

4. 注意事项：

   • 违法嫌疑人在聘请律师时，应当选择具有合法执业资格的律师，并与其签订委托代理合同，明确双方的权利和义务。
   • 律师在接受委托后，应当依法履行职责，为违法嫌疑人提供专业的法律帮助，包括但不限于提供法律咨询、代理申诉、控告等。
   • 公安机关在办理行政案件时，应当依法进行，确保程序的公正性和合法性。如果发现公安机关存在违法行为或侵犯当事人合法权益的情况，律师有权依法进行维权。