针对您提出的问题，即在婚姻存续期间，一方因重大疾病导致二级重度残疾，而对方不愿意做第一监护人的情况，我们可以从法律角度和实际操作层面进行详细分析。
法律层面分析
夫妻扶养义务： 根据《中华人民共和国民法典》第一千零五十九条，夫妻有相互扶养的义务。这意味着，在婚姻关系存续期间，如果一方因疾病或其他原因失去生活自理能力，另一方有义务提供必要的扶养和照顾，包括经济上的支持和生活上的照料。
监护人指定： 当一方因重大疾病导致二级重度残疾，无法自行处理个人事务时，需要指定监护人。通常，配偶是第一顺序的监护人。但如果配偶不愿意担任监护人，根据法律规定，可以由其他有监护能力的亲属（如父母、子女）或相关组织（如居民委员会、村民委员会）担任监护人。
财产分割请求： 如果配偶一方不愿支付因另一方患重大疾病所需的医疗费用，根据《中华人民共和国民法典》第一千零六十六条，受扶养方或其法定代理人可以向人民法院请求分割婚内的夫妻共同财产，用于支付医疗费用。
实际操作建议
沟通协商： 首先，尝试与配偶进行深入沟通，了解其不愿意担任监护人的具体原因，并寻求解决方案。可能通过协商，配偶会改变态度或提出其他可行的照顾方案。
寻求法律援助： 如果沟通无果，可以咨询专业律师，了解具体的法律程序和权利义务。律师可以提供法律意见，并帮助准备相关法律文件。
申请指定监护人： 如果配偶确实不愿意担任监护人，可以向人民法院申请指定其他有监护能力的亲属或相关组织作为监护人。法院会根据被监护人的实际情况和监护人的能力，作出合理的判决。
财产分割诉讼： 如果配偶不愿支付医疗费用，且双方无法就财产分割达成一致，可以向人民法院提起诉讼，请求分割婚内的夫妻共同财产，用于支付医疗费用。
总结
在婚姻存续期间，一方因重大疾病导致二级重度残疾，而对方不愿意做第一监护人的情况下，应首先尝试通过沟通协商解决问题。如果沟通无果，可以寻求法律援助，申请指定其他监护人，并在必要时提起财产分割诉讼。整个过程中，应确保被监护人的权益得到充分保障，同时遵守相关法律法规。