核心结论：两份合同中间协商解除后，合同起始时间的计算需分情况讨论，具体如下：

1. 若协商解除后未签订新合同，仅涉及原合同履行期间的调整
   起始时间通常以原合同生效日为准，但需结合解除协议的具体条款。例如：

   • 若解除协议明确“原合同自某日起终止，但权利义务延续至新安排完成”，则起始时间可能追溯至原合同生效日，但终止时间按协议约定调整。
     
   • 若解除协议未涉及权利义务延续，仅约定“双方互不追究原合同责任”，则原合同起始时间仅作为历史事实存在，不直接影响后续法律关系。

2. 若协商解除后签订新合同，且新合同明确约定起始时间
   以新合同条款为准。例如：

   • 新合同可能约定“本合同自某日起生效，与原合同无关”，此时起始时间完全独立于原合同。
     
   • 新合同也可能约定“本合同承接原合同未履行部分，自原合同解除次日起生效”，此时起始时间需衔接原合同解除时间。

3. 若协商解除未明确起始时间，且双方对合同履行存在争议
   需结合以下因素综合判断：

   • 实际履行情况：如工资发放、社保缴纳、工作交接等记录是否连续；
     
   • 双方意思表示：解除协议中是否提及“原合同权利义务终止”或“新安排生效”；
     
   • 法律规定：根据《民法典》第465条，合同效力仅及于签约双方，未约定事项可参照行业惯例或公平原则处理。

建议：

• 优先审查两份合同及解除协议的书面条款，明确是否有关于“起始时间”“权利义务承接”的约定；
  
• 若书面文件不明确，可收集实际履行证据（如考勤记录、工作成果等）辅助证明；
  
• 涉及复杂争议时，建议整理全部材料后向我进一步咨询，我将结合具体条款和案例提供分析。