当行政复议申请人与具体行政行为被认定没有法律上的利害关系时，处理方式及申请人的后续行动应遵循以下法律规定和程序：
一、政府（行政复议机关）的处理方式
驳回行政复议申请：
- 根据《中华人民共和国行政复议法实施条例》的相关规定，行政复议机关在受理复议申请后，若发现申请人与具体行政行为无利害关系，即不具备提出行政复议申请的主体资格，应当决定驳回行政复议申请。这是因为利害关系是提出行政复议申请的重要前提，没有利害关系则申请不成立。
明确告知驳回理由：
- 驳回申请的同时，行政复议机关必须明确告知申请人其与具体行政行为无利害关系，因此不符合行政复议的受理条件。这一步骤旨在确保申请人了解驳回决定的原因，维护行政复议制度的透明度和公正性。
记录在案：
- 驳回申请的决定需被详细记录在案，包括驳回的理由、依据以及申请人的相关信息等，以备后续查询和监督。这一措施有助于维护行政复议制度的严肃性和权威性。
二、申请人的后续行动
对于被驳回的行政复议申请，申请人若认为决定不当或存在误解，可考虑采取以下措施来维护自身权益：
申请复查或复核：
- 若行政体系内部设有复查程序，申请人可在规定期限内，依据新发现的事实、证据等，向作出认定的政府部门或其上级机关申请复查。在申请中，申请人应详细说明认为自己与该事项存在利害关系的理由和依据，请求重新审查。
- 根据相关法律法规，申请人也可能有权直接向行政复议机关的上级机关申请复核，以寻求更高级别的审查和判断。
提起行政诉讼：
- 若申请人对行政复议机关的驳回决定不服，可在知道或者应当知道作出行政行为之日起六个月内，向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。
- 在诉讼中，申请人需提供能证明自己与所涉行政事项存在利害关系的证据，如可能受到该行政行为直接影响的财产权益证明、与相关人员的特定关系证明等。
- 法院将全面审查双方提交的证据、事实和法律依据，并作出公正判决。若法院认为申请人确实存在利害关系，会依法撤销政府作出的无利害关系认定，并可要求政府重新作出处理决定。
寻求其他监督途径：
- 除了申请复查、复核和提起行政诉讼外，申请人还可向政府的监察部门、信访部门等反映情况。这些部门在接到反映后，会根据具体情况进行调查核实，并反馈处理结果。通过这些监督渠道，申请人可以促使政府再次审视其作出的无利害关系认定是否合理合法。
三、利害关系认定的复杂性及注意事项
利害关系的认定在行政复议中具有一定的复杂性，它涉及对申请人合法权益是否可能受到行政行为影响的判断。因此，行政复议机关在认定利害关系时，会依据相关法律法规和规章的具体规定，结合案件实际情况进行审慎判断。
对于申请人而言，在提出行政复议申请前，应充分了解并评估自己与具体行政行为之间的利害关系，确保申请具有合法性和合理性。同时，在申请被驳回后，申请人也应理性对待，通过合法途径来维护自身权益。
综上所述，当行政复议后政府认定申请人与具体行政行为无利害关系时，会依法驳回行政复议申请并告知驳回理由。申请人若对决定不服，可通过申请复查、复核或提起行政诉讼等途径来维护自身权益。