针对您描述的情况，核心前提是家人被车撞后轻伤住院，司机先逃逸后报警，且司机已报保险。以下是分情况的核心结论及详细建议：

1. 司机逃逸行为的法律定性及责任
   根据《道路交通安全法》第九十九条，司机肇事逃逸需承担行政责任（如罚款200-2000元、吊销驾照），若构成犯罪（如逃逸致人重伤/死亡），则可能被追究刑事责任。
   建议：立即向交警部门索要《交通事故责任认定书》，明确司机逃逸事实，为后续索赔提供关键证据。

2. 保险理赔的合法性及限制
   根据《机动车交通事故责任强制保险条例》第二十二条，若司机逃逸，保险公司仅在交强险范围内垫付抢救费用（需提供医疗证明），且有权向司机追偿。商业险通常因逃逸行为免责。
   建议：要求司机提供保险单号，联系其保险公司确认理赔范围；若保险公司拒赔，可同步准备对司机个人的民事诉讼。

3. 民事赔偿的完整路径
   您可主张医疗费、误工费、护理费、交通费等实际损失（需保留票据），以及精神损害抚慰金（需证明伤残等级或严重后果）。
   建议：

   • 收集住院记录、费用清单、收入证明等材料；
     
   • 若与司机协商不成，可向法院起诉，同时申请财产保全（如冻结司机车辆、银行账户）；
     
   • 若司机无力赔偿，可申请道路交通事故社会救助基金垫付（需符合当地条件）。

4. 刑事报案的必要性
   若司机逃逸行为导致公共财产损失或他人重伤，可能涉嫌《刑法》第一百三十三条“交通肇事罪”。
   建议：向交警部门明确要求追究司机刑事责任，并保留追究其刑事附带民事赔偿的权利。

行动清单：

1. 立即要求交警出具责任认定书，固定逃逸证据；
   
2. 联系司机保险公司，确认交强险垫付流程；
   
3. 整理医疗、误工等损失证据，计算赔偿总额；
   
4. 若协商无果，7日内向法院提起民事诉讼（注意诉讼时效）；
   
5. 同步向公安机关报案，要求追究司机刑事责任。

如有进一步细节（如是否构成伤残、司机经济状况等），可直接向我补充提问，我将为您定制解决方案。