当您发现肇事车辆逃逸并成功记下车牌号后，公安部门会按照以下流程进行处理：

一、接收报警与信息核实

首先，您需要立即报警，并向警方提供肇事车辆的车牌号码、车型、颜色以及逃逸方向等详细信息。警方在接收到这些信息后，会进行核实和记录，确保信息的准确性。

二、展开调查与追捕

1. 查询车主资料：警方会通过车牌信息查询车主的个人资料，包括姓名、联系方式、住址等，以便进一步联系和调查。

2. 分析逃逸路线：根据您提供的逃逸方向，警方会结合交通监控、目击者证言等线索，分析肇事车辆可能的逃逸路线。

3. 实施追捕：在掌握足够线索后，警方会组织警力对肇事车辆进行追捕，力求尽快将其拦截并控制。

三、收集证据与固定现场

1. 现场勘查：警方会前往事故现场进行勘查，收集与事故相关的证据，如车辆碎片、刹车痕迹、血迹等。

2. 调取监控：如果事故现场附近有交通监控或民用监控，警方会调取相关视频资料，以获取更直接的证据。

3. 询问目击者：警方会寻找并询问事故现场的目击者，了解事故发生的经过和肇事车辆的详细情况。

四、法律程序与责任追究

1. 传唤车主：在找到肇事车辆或车主后，警方会依法传唤车主到案接受调查。

2. 认定事故责任：根据收集到的证据和调查结果，警方会认定事故责任，并出具事故责任认定书。

3. 追究法律责任：

   • 如果肇事行为尚未构成犯罪，警方会依据《中华人民共和国道路交通安全法》等相关规定，对肇事者进行行政处罚，如罚款、拘留等。
   • 如果肇事行为构成犯罪，如交通肇事罪或危险驾驶罪等，警方会将案件移送检察机关审查起诉，由法院依法判处相应的刑罚。

五、赔偿与救助

1. 民事赔偿：如果事故造成了人身伤害或财产损失，受害者可以在案件侦破后，通过法律途径要求肇事者承担相应的民事赔偿责任。

2. 救助措施：在事故处理过程中，如果受害者需要紧急救助，警方会协调相关部门提供必要的救助措施。

六、跟进案件进展

在整个处理过程中，您可以与负责案件的交警保持联系，了解案件的侦破情况和处理进度。同时，您也可以向警方提供任何有助于案件侦破的新线索或信息。

概括起来，当您发现肇事车辆逃逸并记下车牌号后，公安部门会迅速展开调查与追捕工作，依法追究肇事者的法律责任，并尽力保障受害者的合法权益。