结论前置：公司辞退试用期员工，并非仅通过提前三天邮件通知就可以随意辞退，辞退行为的合法性取决于具体的辞退原因和是否遵循了法定程序。
一、试用期辞退的合法情形
不符合录用条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，如果劳动者在试用期间被证明不符合明确的录用条件，用人单位可以解除劳动合同。
- 合法辞退需满足：有具体、可衡量、可操作的录用条件，并在招聘时明确告知劳动者；提供充分的证据证明劳动者不符合这些条件，如面试记录、笔试成绩、试用期考核记录等；考核过程应公平、公正、公开，且考核结果真实反映劳动者的工作表现；辞退决定必须在试用期届满前以书面形式作出并送达劳动者。
其他合法辞退情形：
- 除不符合录用条件外，劳动者严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害等情形，用人单位也可依法解除劳动合同。
二、试用期辞退的通知与经济补偿
提前通知：
- 关于提前通知的期限，法律并未明确规定试用期辞退必须提前多少天通知，但一般而言，即使是在试用期，用人单位也应尽可能提前与员工沟通，以便员工有足够的时间做好离职准备。提前三天邮件通知可能不足以体现用人单位的诚意和合规性，尤其是在没有充分证据证明员工不符合录用条件的情况下。
- 若辞退并非基于员工不符合录用条件，而是出于其他法定原因（如员工患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作等），用人单位则需提前30日以书面形式通知劳动者本人，或者选择额外支付劳动者1个月工资后解除劳动合同。
经济补偿：
- 试用期辞退劳动者时，是否需要支付经济补偿金取决于辞退的原因。若因劳动者不符合录用条件或其他由劳动者自身原因导致的辞退，通常无需支付经济补偿金。
- 但若因用人单位原因（如经济困难、公司重组等）且劳动者无过错，用人单位可能需按照《劳动合同法》的相关规定，支付相应的经济补偿金。
三、试用期辞退的违法情形及法律后果
缺乏合法理由：
- 如果用人单位没有明确的录用条件或未能提供劳动者不符合录用条件的有效证明，就随意辞退劳动者，这种行为是违法的。
违反法定程序：
- 即使劳动者不符合录用条件，但如果用人单位未按照规定的程序进行辞退（如未提前通知、未以书面形式作出辞退决定等），这种行为同样构成违法辞退。
法律后果：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位违法辞退劳动者应承担相应的法律责任，包括继续履行劳动合同、支付赔偿金等。赔偿金的计算通常依据劳动者在本单位工作的年限和月工资标准来确定。
四、实践中的操作建议
遵循公平原则：
- 无论法律是否明确要求，用人单位在实际操作中都应遵循公平、公正的原则，尽可能提前与员工进行沟通，以便员工有足够的时间做好离职准备和后续的职业规划。
书面通知并说明理由：
- 无论是否需要提前通知，用人单位在辞退员工时都应以书面形式进行通知，并详细列明辞退的理由、依据以及相关的法律法规条款。这不仅有助于避免潜在的劳动纠纷，还能体现企业管理的规范性和专业性。
完善内部管理制度：
- 用人单位应建立健全的内部管理制度，明确录用条件和辞退标准，确保辞退行为的合法性和合理性。同时，还应加强对员工的培训和管理，提高员工的工作能力和职业素养，降低辞退风险。
总结：公司辞退试用期员工并非仅通过提前三天邮件通知就可以随意辞退。辞退行为必须基于合法的理由，并按照规定的程序进行。如果劳动者认为自己的权益受到侵害，可以依法向劳动行政部门投诉或寻求法律援助。如果您有进一步的法律问题或需要具体的法律建议，请直接向我咨询。