结论：手机被别人弄丢不赔，您可以起诉对方要求赔偿；起诉时发票不是一定要发给对方，但在诉讼过程中发票是重要的证据，需要向法院提交。以下是详细分析：

1. 关于能否起诉
   根据《民法典》第一千一百六十五条，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。对方弄丢您的手机，属于过错行为导致您财产受损，您有权要求对方赔偿。若对方拒绝赔偿，您可以向法院提起民事诉讼，要求对方赔偿手机价值及可能产生的其他合理损失（如手机内重要数据恢复费用等）。
   起诉时需准备：起诉状、对方身份信息、手机价值证明（如发票、购买记录等）、对方弄丢手机的证据（如聊天记录、证人证言等）。

2. 关于发票是否必须发给对方
   发票是证明手机价值的关键证据，但起诉时无需直接“发给对方”，而是需要作为证据提交给法院。具体操作：

   • 若您有发票原件，需在起诉时向法院提交复印件，并在庭审时出示原件供对方质证；
     
   • 若发票丢失，可通过其他方式证明手机价值，如购买记录、支付凭证、手机型号及市场价格查询等；
     
   • 对方作为被告，有权在诉讼过程中查看您提交的证据（包括发票复印件），但这是通过法院程序进行的，您无需主动将发票“发给”对方。

建议：

• 尽快收集手机价值证明及其他损失证据，避免因时间推移导致证据灭失；
  
• 起诉前可尝试与对方协商赔偿，若协商无果再启动诉讼程序；
  
• 如有疑问，可直接向我咨询具体操作细节。