若司机全责但未支付医药费，医院起诉时赔偿责任的承担需分情况讨论，具体如下：

一、保险公司应在交强险范围内垫付

根据《机动车交通事故责任强制保险条例》的规定，保险公司在交强险责任限额内有义务垫付抢救费用。具体来说，交强险的医疗费用赔偿限额通常为一万元（具体以最新政策为准），在此限额内，保险公司应先行垫付伤者的医疗费用。因此，若司机全责且未支付医药费，伤者或其家属可首先要求保险公司在交强险范围内垫付。

操作建议：

• 伤者或其家属应尽快与司机及其保险公司取得联系，明确要求保险公司在交强险责任限额内垫付医疗费用。
• 保留好与保险公司的沟通记录，如电话录音、书面函件等，以备后续维权之需。

二、若保险公司未垫付或垫付不足，伤者可自行垫付并保留证据

若保险公司拒绝垫付或垫付金额不足，伤者或其家属可考虑自行垫付医疗费用，并务必保留好所有相关票据，如医院诊断证明、病历、检查报告、费用清单、发票等。这些票据是后续通过诉讼要求赔偿的重要证据。

操作建议：

• 伤者或其家属在自行垫付医疗费用时，应确保所有费用均与交通事故伤情相关，避免混入其他无关费用。
• 保留好所有票据的原件，并可考虑制作电子备份，以防丢失或损坏。

三、伤者可通过诉讼要求司机和保险公司赔偿

治疗结束后，伤者或其家属可凭借保留的票据，通过诉讼要求司机和保险公司承担赔偿责任。在此过程中，法院将根据事故责任认定、医疗费用支出等证据，判决司机和保险公司应承担的赔偿金额。

操作建议：

• 伤者或其家属在提起诉讼前，应咨询专业律师，了解诉讼流程和注意事项。
• 准备充分的证据材料，包括事故责任认定书、医疗费用票据、诊断证明等，以支持自己的诉讼请求。

四、符合条件可申请道路交通事故社会救助基金

若伤者经济困难且符合条件，还可申请道路交通事故社会救助基金垫付部分或全部抢救费用。救助基金管理机构在垫付后，有权向作为交通事故责任人的司机追偿。

操作建议：

• 伤者或其家属应了解当地道路交通事故社会救助基金的申请条件和流程。
• 准备相关证明材料，如经济困难证明、事故责任认定书等，以申请救助基金。

总结与提醒：面对司机全责但未支付医药费的情况，伤者或其家属应首先要求保险公司在交强险范围内垫付；若保险公司未垫付或垫付不足，可自行垫付并保留证据；治疗结束后，可通过诉讼要求司机和保险公司赔偿；若经济困难且符合条件，还可申请道路交通事故社会救助基金。在整个过程中，务必保留好所有相关证据，并咨询专业律师以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。