结论：在车祸住院欠费且打完官司患者未主张医疗费的情况下，医院应当起诉的对象取决于具体的法律关系和责任主体，一般可能涉及患者、肇事方或保险公司。以下是对此问题的详细分析：
一、法律关系分析
患者与医院之间的医疗服务合同关系：
- 患者因车祸受伤住院，与医院之间形成了医疗服务合同关系。医院提供了医疗服务，患者有义务支付相应的医疗费用。
- 若患者未支付医疗费用，医院有权基于医疗服务合同关系向患者追讨欠费。
患者与肇事方之间的侵权责任关系：
- 车祸通常由肇事方的过错导致，肇事方对患者的人身损害负有侵权责任。
- 患者因车祸产生的医疗费用，理论上应由肇事方承担。若患者在官司中未主张医疗费，这并不影响医院向肇事方追讨欠费的权利（但需注意，医院并非直接侵权诉讼的当事人，通常需通过患者或患者授权来主张，或基于其他法律关系如代位权等，具体情况需具体分析）。不过，从实际操作和直接性角度考虑，医院更可能先基于与患者的合同关系来追讨。
保险公司与肇事方/患者之间的保险合同关系：
- 若肇事方购买了交通事故责任强制保险或商业第三者责任险，保险公司应在保险范围内承担赔偿责任。
- 在患者未主张医疗费的情况下，若保险公司已根据保险合同向肇事方或患者支付了赔偿款（包括医疗费用），则医院可能无法再从保险公司直接获得赔偿。但若保险公司未支付或支付不足，医院仍可基于相关法律关系追讨。
二、医院应起诉的对象
起诉患者：
- 基于医疗服务合同关系，医院可以直接起诉患者，要求其支付欠付的医疗费用。
- 这是最直接且常见的做法，因为医院与患者之间存在明确的合同关系。
起诉肇事方（需考虑法律程序和可行性）：
- 在某些情况下，如患者无力支付且肇事方有明确责任时，医院可能考虑通过法律程序（如代位权诉讼）向肇事方追讨欠费。但这需要满足一定的法律条件，且程序相对复杂。
- 通常情况下，医院更倾向于先起诉患者，再由患者向肇事方追偿。
涉及保险公司的情况：
- 若保险公司已介入并承担了部分或全部医疗费用，医院则需根据保险公司的支付情况来调整追讨策略。
- 若保险公司未支付或支付不足，医院可考虑将保险公司作为共同被告或第三人纳入诉讼（具体需根据案件情况和法律规定来确定）。
三、建议与注意事项
收集证据：
- 医院应收集并保存好所有与医疗服务相关的证据，包括病历、医疗费用清单、发票等，以证明其提供了医疗服务且患者未支付费用。
咨询专业律师：
- 在决定起诉前，医院应咨询专业律师，了解具体的法律程序和可能面临的法律风险。
- 律师可以帮助医院评估案件的胜诉可能性，并制定合适的诉讼策略。
考虑和解或调解：
- 在诉讼前或诉讼过程中，医院可以考虑与患者、肇事方或保险公司进行和解或调解，以尽快解决欠费问题并减少诉讼成本。
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