结论前置：面对打架双方都构成轻伤且对方漫天要价的情况，你方应保持冷静，通过明确态度、了解合理赔偿范围、寻求第三方调解或走法律程序等方式妥善处理。若无法协商解决，可依法提起诉讼，由法院根据事实和法律作出公正判决。
详细分析：
保持冷静与明确态度：
- 面对对方的不合理要求，首先要保持冷静，不要被激怒而做出不理智的回应。
- 明确表达你方愿意按照法律规定承担相应赔偿责任，但不接受不合理的漫天要价。
了解合理赔偿范围：
- 根据法律规定，致人轻伤涉及的赔偿项目主要包括医疗费、误工费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等。
- 各项费用的计算应依据实际发生的费用和相关凭证，如医院出具的正规收费凭证、误工证明、护理费用标准等。你可以要求对方提供这些凭证，以确定合理的赔偿金额。
寻求第三方调解：
- 若双方协商无果，可寻求公安机关或人民调解委员会的调解服务。
- 公安机关在案件处理过程中可以主持双方进行调解，这有助于更高效地解决纠纷，避免诉讼带来的时间和金钱成本。
- 人民调解委员会是依法设立的调解民间纠纷的群众性组织，其调解相对中立、公正，也可以作为调解的选择。
走法律程序：
- 若无法通过调解解决，对方坚持不合理要求，你方可向法院提起民事诉讼。
- 在诉讼过程中，应积极应诉，提交相关证据以支持自己的主张，如医疗记录、费用发票、收入证明等。
- 若对对方的伤情、护理依赖程度、营养期限等存在争议，可申请专业的司法鉴定机构进行鉴定，以确定合理的赔偿依据。
法律责任与后果：
- 打架致人轻伤可能构成故意伤害罪，依法需要承担刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意伤害他人身体的，可能面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制等刑罚。但在此情况下，双方都构成轻伤，且你方已表示愿意承担合理赔偿责任，因此刑事责任的可能性相对较低，但仍需注意法律风险。
- 同时，你方还需要承担对方的民事赔偿责任，包括医疗费、误工费、护理费等各项合理费用。若对方漫天要价，法院将根据事实和法律作出公正判决，确定合理的赔偿金额。
建议与注意事项：
- 在处理此类纠纷时，及时咨询并委托我这样的专业律师是非常重要的。我可以提供专业的法律建议和指导，帮助你更好地维护自己的合法权益。
- 避免使用暴力手段解决问题，打架是违法行为，不仅可能引发赔偿纠纷，还可能面临法律追究。
- 保留好所有相关证据，如医疗记录、费用发票、沟通记录等，以便在需要时提供证明。
面对打架双方都构成轻伤且对方漫天要价的情况，你方应通过合理途径解决纠纷，维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。