结论前置：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司在以下特定情形下辞退员工无需支付经济补偿：

1. 试用期间不符合录用条件

   • 法律依据：用人单位在招聘时需明确具体的录用条件，并在试用期内对员工进行客观考核和评估。若员工被证明不符合录用条件，用人单位可解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
   • 具体情形：例如，某公司招聘程序员时明确要求熟练掌握某种编程语言，员工在试用期内经考核发现并不具备该技能，公司可依据考核记录辞退该员工，且无需支付赔偿。

2. 严重违反规章制度

   • 法律依据：用人单位的规章制度需内容合法、程序合法（经民主程序制定且向劳动者公示）。员工若严重违反，用人单位可解除合同，且无需支付经济补偿。
   • 具体情形：如某公司规定严禁在工作区域吸烟，并已向员工公示。若员工违规吸烟且引发安全隐患，公司可依规辞退该员工，且无需承担补偿义务。

3. 严重失职、营私舞弊

   • 法律依据：员工在工作中严重失职或营私舞弊，给用人单位造成重大损害的，用人单位可解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
   • 具体情形：例如，某公司财务人员因疏忽导致财务数据泄露，给公司造成重大损失，公司可辞退该员工且无需补偿。

4. 与其他单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正

   • 法律依据：员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对本职工作产生严重影响，或拒不改正用人单位提出的改正要求，用人单位可解除合同，且无需支付经济补偿。
   • 具体情形：如员工同时在两家公司工作，导致其中一家公司任务延误、质量下降。若该公司要求员工改正未果后，可辞退该员工且无需补偿。

5. 以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，致使劳动合同无效

   • 法律依据：员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危，使用人单位违背真实意思订立或变更劳动合同的，该劳动合同无效，用人单位可解除合同且无需支付经济补偿。
   • 具体情形：例如，员工在入职时提供虚假学历证明，公司发现后可解除劳动合同且无需补偿。

6. 被依法追究刑事责任

   • 法律依据：员工被依法追究刑事责任的，用人单位可解除劳动合同且无需支付经济补偿。
   • 具体情形：如员工因犯罪被法院判定有罪，公司可据此解除劳动合同且无需补偿。

法律建议：

• 公司在解雇员工时，应确保程序合法、证据充分。例如，对于试用期间不符合录用条件的员工，公司需提供明确的录用标准、考核记录等证据；对于严重违反规章制度的员工，公司需确保规章制度是合法制定且已向员工公示。
• 若公司解雇员工的行为被认定为违法解除劳动合同，公司可能需要按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。因此，公司在解雇员工前应谨慎评估法律风险。

可能后果：

• 若公司未按照法律规定解雇员工，员工可能向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金及赔偿社保损失等。对仲裁结果不服的，员工还可向人民法院提起诉讼。

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