持刀伤人后，是否马上抓人，取决于案件的具体情况和法律规定。以下是详细分析：
一. 持刀伤人的行为性质与法律后果
- 行为性质：持刀伤人是一种严重的暴力行为，可能构成故意伤害罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，可能面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制的处罚；若致人重伤或死亡，处罚将更为严厉。
- 法律后果：犯罪嫌疑人若被证实有罪，将承担相应的刑事责任。
二. 公安机关的处理流程
- 侦查过程：公安机关在接到报案后，会进行详细的侦查工作，包括收集证据、调查案情等。这一过程中，公安机关会根据案件的具体情况和需要，决定是否对犯罪嫌疑人采取强制措施。
- 强制措施的决定：如果持刀伤人的行为性质恶劣、社会危害性大，或者犯罪嫌疑人有逃跑、毁灭证据等可能妨碍侦查的情形，公安机关会迅速采取刑事拘留措施。然而，如果案件情况较为复杂，需要进一步调查核实相关证据，或者犯罪嫌疑人有自首、立功等从轻情节，公安机关可能会在一定时间内进行进一步侦查后再决定是否刑事拘留。
三. 为何不一定马上抓人
- 证据收集：为了确保案件的顺利侦办和诉讼工作的进行，公安机关需要收集充分的证据来证实犯罪嫌疑人的罪行。这一过程可能需要时间，因此不一定能马上对犯罪嫌疑人采取强制措施。
- 法律程序：刑事案件的侦办需要遵循严格的法律程序。在未经充分调查和证据收集的情况下，公安机关不能随意对犯罪嫌疑人采取强制措施。
综上所述，持刀伤人后是否马上抓人，取决于案件的具体情况和法律规定。公安机关会根据案件的需要和法律规定来决定是否对犯罪嫌疑人采取强制措施。因此，不能一概而论地认为持刀伤人后就应该马上抓人。如有进一步需要，您可以继续咨询我。