关于您提出的“父母单位是否可以安置自己转业的儿子”这一问题，我们需要结合相关的退役军人安置政策来进行详细解答。

首先，根据《退役军人保障法》以及《退役军人安置条例》的相关规定，退役军人的家属（包括配偶和子女）在符合一定条件下，可以随调随迁。这里的“随调”指的是，如果退役军人的家属在原地有正式工作（如国家机关、企事业单位的正式工作人员），并且符合相关规定，那么他们可以随同退役军人调至安置地，并由安置地重新安排工作。但这一安排是基于家属原有的工作身份和编制，并非直接由退役军人的父母单位进行安置。

具体到您的问题，如果您的儿子是转业军官或军士，并且您（作为父母）并非其配偶或符合随调条件的子女，那么您本身并不属于可以随调的范围。此外，即使您的儿子有符合随调条件的配偶或子女，他们的安置也是由安置地人民政府根据相关政策进行安排，而不是直接由您所在的单位进行安置。

进一步来说，退役军人的安置工作是由政府主导，依据相关法律法规和政策进行的。这包括为退役军人提供就业指导、协助实现就业，以及为随调配偶安排相应的工作单位等。但这些安排都是基于政策规定和程序进行的，并非可以随意由某个单位或个人来决定。

因此，针对您的问题，我们可以明确地说：父母单位并不能直接安置自己转业的儿子。退役军人的安置工作需要遵循相关的法律法规和政策规定，由政府主导进行。如果您或您的家人有关于退役军人安置的具体问题或需求，建议咨询当地的退役军人事务部门或相关机构，以获取更准确和详细的信息。