结论：公司因您请假半个月且没有假条而开除您，这一行为是否合法需视具体情况而定，但通常情况下，公司单方面以此为由解除劳动合同可能涉嫌违法。
一、从请假制度的角度分析
公司规章制度：
- 首先，需要查看公司的规章制度中关于请假和旷工的具体规定。如果公司规章制度明确规定，员工请假必须提交假条，且未提交假条视为旷工，同时规定了旷工达到一定天数（如半个月）可以解除劳动合同，那么公司开除您的行为在形式上可能符合其内部规定。
- 但，公司规章制度必须合法且经过民主程序制定，并已向您公示或告知。如果规章制度本身违法或未经民主程序，或未向您公示，则不能作为开除您的合法依据。
请假流程的合理性：
- 即便公司规章制度有相关规定，也应考虑请假流程的合理性。例如，如果因突发情况无法及时提交假条，员工是否已通过其他方式（如电话、短信）向公司请假并获得批准？如果公司未给予员工合理的补交假条时间或未考虑员工的特殊情况，直接开除可能显得过于严苛。
二、从劳动法的角度分析
违法解除劳动合同：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同必须符合法定情形，如员工严重违反公司规章制度、严重失职给公司造成重大损害等。如果公司仅以您未提交假条为由开除您，且该行为未达到“严重违反规章制度”的程度，那么公司可能涉嫌违法解除劳动合同。
- 违法解除的后果：如果公司被认定为违法解除劳动合同，您有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金（通常为经济补偿金的两倍）。
经济补偿与赔偿金：
- 如果公司开除您的行为被认定为违法，您可以根据《劳动合同法》的规定，要求公司支付赔偿金。赔偿金的计算通常基于您在公司的工作年限和月工资。
三、建议与行动
收集证据：
- 建议您尽快收集与请假相关的证据，如与公司的沟通记录、同事的证言等，以证明您已请假且公司知晓此事。
与公司协商：
- 在掌握一定证据后，您可以尝试与公司协商，要求公司撤销开除决定或给予合理的经济补偿。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司承担违法解除劳动合同的法律责任。
最后，每个案件的具体情况都有所不同，上述分析仅供参考。如果您面临此类问题，建议直接向我咨询，以便根据您的具体情况提供更准确的法律建议。