公民在被错误地刑事拘留并因此遭受损害时，有权依法向相关机关申请国家赔偿。以下是对这一问题的详细分析：

一、法律依据与赔偿权利

根据《中华人民共和国国家赔偿法》第十七条的规定，当行使侦查、检察、审判职权的机关以及看守所、监狱管理机关及其工作人员在行使职权过程中，存在以下侵犯人身权情形之一的，受害人有取得赔偿的权利：

1. 违反刑事诉讼法的规定对公民采取拘留措施的；
2. 依照刑事诉讼法规定的条件和程序对公民采取拘留措施，但拘留时间超过刑事诉讼法规定的时限，且后续决定撤销案件、不起诉或者判决宣告无罪终止追究刑事责任的。

二、赔偿的构成要件

1. 主体要件：实施错误拘留的主体必须是依法具有侦查、检察、审判等职权的机关及其工作人员，如公安机关、人民检察院等。

2. 行为违法性要件：

   • 违反法定条件拘留：拘留必须严格符合刑事诉讼法规定的条件，如存在犯罪事实、有证据证明犯罪事实是犯罪嫌疑人实施的等。若不符合这些条件而实施拘留，则构成违法拘留。
   • 超期拘留：即使拘留初始合法，若超过法定时限（一般为14天，特殊情况下可延长至37天），且后续案件被撤销、不起诉或判决无罪，也视为违法拘留。

3. 结果要件：错误的刑事拘留必须对公民的人身自由造成实际限制，即产生实际的损害后果。这通常表现为公民被实际羁押在看守所等场所。

4. 因果关系要件：公民人身自由的损害必须与错误的刑事拘留行为存在直接的因果联系。即公民的损害是由于错误的刑事拘留行为直接导致的。

三、申请赔偿的程序

1. 确认违法：首先需由有权机关确认拘留行为的错误性。这通常通过撤销案件、不起诉决定或法院判决宣告无罪等方式实现。

2. 提出赔偿申请：赔偿请求人应向赔偿义务机关（即作出错误拘留决定的机关）提交赔偿申请书及相关证据材料。这些证据材料应能证明拘留行为的错误性以及公民因此遭受的损害。

3. 赔偿义务机关的处理：

   • 赔偿义务机关应在收到申请之日起两个月内作出是否赔偿的决定。
   • 若决定赔偿，应制作赔偿决定书并在规定期限内支付赔偿金。赔偿金的标准通常按照上一年度职工日平均工资计算，以实际被羁押的天数为准。
   • 若决定不予赔偿，应书面通知赔偿请求人并说明理由。

4. 申请复议或提起诉讼：

   • 若赔偿请求人对赔偿义务机关的决定不服，可在规定期限内向其上一级机关申请复议。
   • 也可直接向人民法院赔偿委员会申请作出赔偿决定。这一步骤旨在确保赔偿请求的合法性与公正性。

四、注意事项

1. 及时申请：公民应在知道或应当知道其人身自由受到损害之日起两年内申请国家赔偿。逾期申请的，可能面临不予受理的风险。

2. 保留证据：在申请赔偿过程中，公民应保留好与错误拘留相关的各类证据材料。这些证据材料对于证明拘留行为的错误性以及公民因此遭受的损害至关重要。

3. 寻求专业帮助：由于国家赔偿申请涉及复杂的法律程序和证据要求，公民在申请过程中可寻求专业律师的帮助。律师能够提供专业的法律意见和指导，帮助公民顺利获得应有的国家赔偿。

总结来看，公民在被错误地刑事拘留并因此遭受损害时，应积极维护自身合法权益，依法向相关机关申请国家赔偿。赔偿过程需遵循严格的法律程序，确保赔偿的公正性与合法性。同时，赔偿义务机关也应依法履行赔偿职责，保障受害人的合法权益得到及时有效的救济。如果您在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。