公民在被错误地刑事拘留并因此遭受损害时，确实有权依法向相关机关申请国家赔偿。以下从多个角度为您详细分析：
一、法律依据与赔偿权利
根据《中华人民共和国国家赔偿法》第十七条的规定，当行使侦查、检察、审判职权的机关以及看守所、监狱管理机关及其工作人员在行使职权过程中，违反刑事诉讼法的规定对公民采取拘留措施，或者拘留时间超过法定时限且后续决定撤销案件、不起诉、判决宣告无罪终止追究刑事责任的，受害人享有取得赔偿的权利。这一条款明确规定了公民在遭受错误刑事拘留时的赔偿权利。
二、赔偿的构成要件
主体要件：实施错误拘留的主体必须是依法具有侦查、检察、审判等职权的机关及其工作人员，如公安机关、人民检察院等。这些机关在行使职权时，必须严格遵守法律规定，否则将承担相应的法律责任。
行为违法性要件：
- 违反法定条件拘留：拘留必须严格符合刑事诉讼法规定的条件，如存在犯罪嫌疑、需要防止逃避侦查或审判等。若拘留条件不满足，即构成违法拘留。
- 超期拘留：即使拘留初始合法，若超过法定时限（如一般刑事拘留不得超过37日），且后续案件被撤销、不起诉或判决无罪，也视为违法拘留。
结果要件：错误的刑事拘留必须对公民的人身自由造成实际限制，即产生实际的损害后果。这是赔偿请求成立的基础。
因果关系要件：公民人身自由的损害必须与错误的刑事拘留行为存在直接的因果联系。即损害结果是由错误拘留行为直接导致的。
三、赔偿金额的计算
侵犯公民人身自由的赔偿计算：
- 根据《国家赔偿法》第三十三条的规定，侵犯公民人身自由的，每日赔偿金按照国家上年度职工日平均工资计算。这一标准确保了赔偿金额与国家的经济发展水平及职工的平均收入状况相适应。
- 计算公式：实际赔偿金额 = 国家上年度职工日平均工资 × 实际拘留天数。例如，若某公民被错误刑事拘留了10天，且国家上年度职工日平均工资为373.10元，则该公民应获得的人身自由赔偿金为3731元。
可能涉及的其他赔偿：
- 精神损害抚慰金：若错误刑事拘留导致受害人精神损害，特别是造成严重后果的，应支付相应的精神损害抚慰金。具体数额需根据案件具体情况，由赔偿义务机关或法院综合考虑侵权行为的情节、后果等因素后确定。
- 其他直接损失赔偿：若错误刑事拘留导致受害人的合法财产受到直接损失（如车辆被扣押期间产生的合理保管费用），赔偿义务机关应对这些直接损失进行赔偿。
四、申请赔偿的程序
确认违法：首先需由有权机关确认拘留行为的错误性，通常通过撤销案件、不起诉决定或法院判决宣告无罪等方式实现。
提出赔偿申请：赔偿请求人应向赔偿义务机关（即作出错误拘留决定的机关）提交赔偿申请书及相关证据材料，如证明拘留错误的法律文书、人身自由受限的证明等。
赔偿义务机关的处理：
- 赔偿义务机关应在收到申请之日起两个月内作出是否赔偿的决定。
- 若决定赔偿，应制作赔偿决定书并在规定期限内支付赔偿金。
- 若决定不予赔偿，应书面通知赔偿请求人并说明理由。
申请复议或提起诉讼：
- 若赔偿请求人对赔偿义务机关的决定不服，可在规定期限内向其上一级机关申请复议。
- 也可直接向人民法院赔偿委员会申请作出赔偿决定，以确保赔偿请求的合法性与公正性。
五、注意事项与建议
- 在申请国家赔偿时，务必提供充分的证据和材料，如证明拘留错误的法律文书、个人身份证明等。这些证据和材料是赔偿请求成立的关键。
- 法律对于错误刑事拘留的赔偿有明确规定，旨在保护公民的合法权益不受侵犯。因此，在遭受错误拘留时，公民应积极维护自己的合法权益，依法申请国家赔偿。
- 如遇类似情况或对赔偿程序有疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议和帮助。
综上所述，公民在被错误地刑事拘留并因此遭受损害时，确实有权依法向相关机关申请国家赔偿。赔偿过程需遵循严格的法律程序，确保赔偿的公正性与合法性。同时，赔偿义务机关也应依法履行赔偿职责，保障受害人的合法权益得到及时有效的救济。