继父起诉断绝关系并索要抚养费，而继子女坚持履行赡养义务的情况下，法院的判决会依据具体情况而定，但通常不会直接判决断绝关系，而是会综合考虑双方的实际关系、经济状况及法律规定来裁决抚养费或赡养费的问题。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、法律关系的认定
继父母与继子女的关系：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继父母与继子女之间，如果形成了抚养教育关系，则他们之间的关系等同于亲生父母与子女之间的关系，享有和承担相应的权利和义务。
- 如果继父母对继子女进行了抚养教育，那么继子女在成年后就有赡养继父母的义务。
断绝关系的法律后果：
- 在法律上，父母与子女之间的关系（包括继父母与继子女之间形成了抚养教育关系的情况）是不能通过简单的声明或协议来断绝的。
- 即使继父起诉要求断绝关系，法院也不会轻易支持这样的请求，因为这涉及到身份关系的变更，而身份关系通常是由法律直接规定的，不能通过民事诉讼来改变。
二、抚养费与赡养费的裁决
继父索要抚养费的情况：
- 如果继父在继子女未成年时对其进行了抚养教育，那么他有权在特定情况下（如继子女成年后未履行赡养义务）要求继子女支付一定的抚养费作为补偿。但这种情况在法律上并不常见，且通常需要继父证明其确实对继子女进行了实质性的抚养教育。
- 更常见的是，继父可能会要求继子女履行赡养义务，而不是直接索要抚养费。
继子女坚持赡养义务的情况：
- 如果继子女承认并愿意履行对继父的赡养义务，那么法院通常会尊重这一意愿，并可能据此裁决继子女需要支付一定的赡养费给继父。
- 赡养费的数额会根据继父的实际需要、继子女的经济能力以及当地的生活水平等因素来综合确定。
三、法院的可能判决
不判决断绝关系：
- 如前所述，法院通常不会判决断绝继父母与继子女之间的关系，因为这涉及到身份关系的变更，而身份关系是由法律直接规定的。
裁决抚养费或赡养费：
- 法院会根据双方的实际关系、经济状况以及法律规定来裁决是否需要支付抚养费或赡养费，以及支付的数额和方式。
- 如果继父确实对继子女进行了抚养教育，且继子女有经济能力但未履行赡养义务，那么法院可能会裁决继子女需要支付一定的赡养费给继父。
四、建议与注意事项
协商解决：
- 在诉讼之前，双方可以尝试通过协商来解决争议。协商可以更加灵活地处理双方的关系和利益分配问题，避免不必要的法律纠纷。
收集证据：
- 无论是继父还是继子女，都应该收集并保留好与抚养教育、经济状况等相关的证据。这些证据在诉讼过程中将起到至关重要的作用。
尊重法律与道德：
- 双方都应该尊重法律和道德规范，以理性、平和的态度来处理争议。通过法律途径来解决争议是合法的，但也应该尽量避免对双方造成不必要的伤害和损失。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供更加详细和专业的法律建议。