在债务人提供抵押担保的情况下，连带保证人的责任承担方式主要取决于是否有特别约定以及相关法律法规的规定。以下是对这一问题的详细解答：
一、基本原则
根据《民法典》的相关规定，当被担保的债权既有物的担保（如抵押）又有人的担保（如连带责任保证）时，债务人不履行到期债务或者发生当事人约定的实现担保物权的情形，债权人应当按照约定实现债权。若没有约定或者约定不明确，且债务人自己提供了物的担保，那么债权人应当先就该物的担保实现债权。
二、连带保证人的责任
有约定的情况：
- 如果债权人与债务人、连带保证人之间有明确的约定，比如约定了债权人可以先要求保证人承担责任，或者约定了抵押物与保证人责任的分担比例等，那么应当按照这些约定来执行。
无约定或约定不明的情况：
- 在没有约定或者约定不明确的情况下，且债务人自己提供了抵押物，债权人应先就抵押物实现债权。这意味着，债权人需要先通过处置抵押物来获得偿债资金。
- 如果抵押物的价值不足以清偿全部债务，那么不足部分将由连带责任保证人承担。连带责任保证人在这种情况下没有先诉抗辩权，即债权人可以直接要求保证人承担剩余债务的保证责任。
三、具体操作流程
债权人先就抵押物实现债权：
- 债权人可以通过与债务人协商、拍卖或变卖抵押物等方式来获得偿债资金。
- 如果抵押物的处置价格高于债务金额，超出部分应归还给债务人。
不足部分由连带保证人承担：
- 如果抵押物的价值不足以清偿全部债务，债权人可以要求连带责任保证人承担剩余债务的保证责任。
- 连带保证人应在接到债权人的通知后，按照约定的保证范围承担保证责任。
四、注意事项
- 保证期间的确定：连带责任保证的保证期间有约定的从约定，无约定的，一般为主债务履行期届满之日起六个月。债权人需在此期间内要求保证人承担保证责任，否则保证人将免除保证责任。
- 诉讼时效：连带责任保证的诉讼时效为三年，自债权人请求保证人承担保证责任之日起计算。债权人需在诉讼时效期间内通过司法途径要求保证人履行保证义务。
- 保证人的追偿权：如果保证人承担了保证责任，那么在其承担责任的范围内，有权向债务人追偿。
五、实例说明
假设债务人向债权人借款100万元，并提供了价值80万元的抵押物作为担保，同时连带保证人提供了保证。如果债务人到期无法偿还债务，债权人应先就抵押物实现债权，即处置抵押物获得80万元。剩余的20万元债务，将由连带责任保证人承担。
综上所述，在债务人提供抵押担保的情况下，连带保证人的责任承担方式主要取决于是否有特别约定以及相关法律法规的规定。在没有约定或约定不明的情况下，债权人应先就抵押物实现债权，不足部分由连带责任保证人承担。