结论前置：在协议离婚冷静期内，律师一般不能直接调查银行存款，但可通过合法途径申请调查取证。
具体分析：
冷静期的法律性质：协议离婚冷静期是《民法典》规定的程序，旨在给予夫妻双方冷静思考、避免冲动离婚的时间。在此期间，双方仍为夫妻关系，但财产分割等事宜尚未最终确定。
律师调查权的限制：律师本身并无直接调查他人银行存款的权力。银行存款属于个人隐私，受法律保护。律师若需调查，必须通过合法途径，如向法院申请调查令，或由当事人提供线索后，通过合法程序进行。
合法调查途径：
- 申请法院调查令：在离婚诉讼中，律师可代表当事人向法院申请调查令，要求银行提供相关账户信息。但需注意，调查令通常需在诉讼过程中申请，冷静期本身并非诉讼阶段，但若已提起离婚诉讼并处于冷静期，可尝试申请。
- 当事人自行提供线索：若当事人能提供银行存款的具体线索（如账号、开户行等），律师可协助当事人通过合法途径（如与银行协商、向监管部门投诉等）获取信息，但成功率较低，且可能涉及法律风险。
- 协商或调解阶段获取：在冷静期内，若双方能通过协商或调解达成财产分割协议，可要求对方自愿披露银行存款情况。但此方式依赖对方配合，无强制力。
注意事项：
- 合法性：任何调查行为均需遵守法律法规，不得侵犯他人隐私或采取非法手段。
- 证据效力：即使通过合法途径获取银行存款信息，也需在离婚诉讼中作为证据提交，并经法院审查认定。
- 时间节点：冷静期结束后，若双方未达成协议，将进入诉讼程序。此时，律师可更正式地申请调查取证。
建议：若您在协议离婚冷静期内需要调查对方银行存款，建议先与对方协商，看是否能自愿披露。若协商无果，且已提起离婚诉讼，可及时向法院申请调查令。同时，咨询专业律师（如我），根据具体情况制定合法、有效的调查策略。