群众私自盖公章属于违法行为，可能构成伪造公司、企业、事业单位、人民团体印章罪。以下是对此问题的详细分析：
一、法律定性
公章代表着单位的意志和权力，具有特定的法律效力。未经授权私自加盖公章，是对公章管理秩序的破坏，也是对单位意志和权力的非法行使。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，伪造公司、企业、事业单位、人民团体的印章的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利，并处罚金。因此，私自盖公章的行为，如果达到了伪造印章的程度，即可能构成犯罪。
二、可能构成的犯罪及后果
伪造公司、企业、事业单位、人民团体印章罪：
- 行为表现：未经授权，私自加盖公章，且该行为具有伪造印章的性质，即意图使他人误认为该公章是真实有效的。
- 法律后果：根据《中华人民共和国刑法》第二百八十条的规定，伪造公司、企业、事业单位、人民团体的印章的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利，并处罚金。
其他相关犯罪：
- 如果私自盖公章的行为还涉及其他犯罪活动，如诈骗、合同欺诈等，那么还可能同时构成其他犯罪，如诈骗罪、合同诈骗罪等。这些犯罪的法律后果将根据具体犯罪情节和法律规定进行判定。
三、民事责任与内部处分
- 民事责任：即使私自盖公章的行为未构成犯罪，也可能给公章所属单位造成经济损失或引发法律纠纷。在这种情况下，行为人可能需要承担相应的民事赔偿责任，如赔偿单位因公章被非法使用而遭受的损失。
- 内部处分：对于单位内部员工而言，私自盖公章的行为很可能违反了单位的内部管理制度。因此，行为人可能会受到单位内部的纪律处分，如警告、罚款、解除劳动合同等。
四、建议与措施
- 加强公章管理：各单位应建立健全公章管理制度，明确公章的使用范围、审批程序和保管责任。同时，应定期对公章的使用情况进行检查和审计，确保公章使用的合法性和规范性。
- 提高法律意识：群众应增强法律意识，了解私自盖公章的法律后果。在需要使用公章时，应严格按照规定程序进行申请和操作，避免因私自盖公章而引发法律纠纷。
- 及时寻求法律帮助：如果群众因私自盖公章而面临法律纠纷或刑事指控，应及时寻求专业律师的法律帮助。律师将根据具体情况提供法律咨询和辩护服务，帮助群众维护自身合法权益。
如有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况提供专业的法律意见和解决方案。