如果私生子父亲在诉讼中承认亲子关系，法院通常不会强制要求进行亲子鉴定。不过，具体情形还需结合诉讼过程中的实际情况来分析，以下从不同角度为你详细阐述：

父亲承认亲子关系的情况

在起诉向私生子父亲索赔抚养费的诉讼中，如果父亲明确承认与私生子的亲子关系，并且这一承认在法庭上被记录为证据，那么法院一般会基于父亲的自认来确认亲子关系的存在。在这种情况下，由于已经有了明确的亲子关系认定，法院通常不会强制要求进行亲子鉴定。

父亲不承认但无相反证据且拒绝鉴定的情况

1. 法律依据：根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第三十九条，父或者母以及成年子女起诉请求确认亲子关系，并提供必要证据予以证明，另一方没有相反证据又拒绝做亲子鉴定的，人民法院可以认定确认亲子关系一方的主张成立。
2. 实际操作：如果私生子一方提起诉讼，请求确认亲子关系，并提供了如出生证明、共同生活的照片、视频、证人证言等必要证据，而父亲没有相反证据又拒绝做亲子鉴定的，人民法院可以认定确认亲子关系一方的主张成立，即确认私生子与父亲之间的亲子关系。

父亲不承认且有相反证据或同意鉴定但结果否定的情况

1. 有相反证据：如果父亲提供了相反的证据，如自己无生育能力的医学证明、与私生子母亲无接触的证据等，并且这些证据足以反驳私生子一方的主张，那么法院可能会根据这些证据来认定亲子关系不存在。
2. 同意鉴定但结果否定：如果父亲同意进行亲子鉴定，但鉴定结果否定了亲子关系，那么法院将会根据鉴定结果来认定亲子关系不存在。在这种情况下，私生子一方将无法索赔抚养费。

建议与注意事项

1. 收集证据：在提起诉讼前，私生子一方应尽可能收集能够证明亲子关系的证据，如出生证明、共同生活的照片、视频、证人证言等。这些证据将有助于在诉讼中证明亲子关系的存在。
2. 选择合法鉴定机构：如果需要进行亲子鉴定，应选择具有合法资质和良好信誉的鉴定机构，以确保结果的准确性和可靠性。
3. 遵循法律程序：在进行亲子鉴定或提起诉讼前，应了解并遵循相关的法律程序和规定，如可能需要获得双方的同意、保护个人隐私等。

在处理此类纠纷时，每个案件的具体情况都可能有所不同。因此，如果你或他人正面临类似的问题，建议直接向我咨询，以便获得更具体、更有针对性的法律建议。