金融机构若拒绝兑换残损人民币，将可能面临警告及罚款的处罚。具体分析如下：

法律依据与处罚规定

根据《中华人民共和国人民币管理条例》的相关规定，金融机构有义务按照中国人民银行的规定，无偿为公众兑换残缺、污损的人民币。若金融机构违反此规定，拒绝兑换，中国人民银行将有权责令其改正，并视情节轻重给予警告，同时可能并处1000元以上5000元以下的罚款。这一规定明确了金融机构在兑换残损人民币方面的责任，以及违反规定后可能面临的法律后果。

处罚的适用情形

1. 故意拒绝兑换：若金融机构无正当理由，故意拒绝为公众兑换残损人民币，将直接违反上述规定，面临警告及罚款的处罚。

2. 拖延兑换：除了直接拒绝外，若金融机构以各种理由拖延兑换，导致公众无法及时获得服务，也可能被视为违反规定，受到相应处罚。

3. 设置不合理条件：金融机构若设置不合理的兑换条件，如要求提供额外证明、限制兑换金额等，也可能被视为拒绝兑换的行为，从而受到处罚。

金融机构应如何避免处罚

1. 加强员工培训：金融机构应加强对员工的培训，确保员工了解并遵守相关法律法规，熟悉残损人民币的兑换流程和标准。

2. 完善内部制度：金融机构应建立完善的内部制度，明确兑换残损人民币的责任部门和流程，确保公众能够顺利获得服务。

3. 积极响应公众需求：金融机构应积极响应公众的兑换需求，对于符合兑换条件的残损人民币，应及时、无偿地进行兑换。

公众如何维权

若公众在兑换残损人民币时遇到金融机构的拒绝或拖延，可以采取以下措施进行维权：

1. 向中国人民银行投诉：公众可以向当地的人民银行分支机构投诉，反映金融机构的违规行为，要求其进行调查和处理。

2. 寻求法律援助：若公众认为自己的权益受到侵害，可以寻求法律援助，通过法律途径维护自己的合法权益。

金融机构在兑换残损人民币方面承担着重要的责任。若违反相关规定，将可能面临警告及罚款的处罚。因此，金融机构应加强内部管理，积极响应公众需求，确保兑换服务的顺利进行。同时，公众也应了解自己的权益，在遇到问题时积极维权。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。