针对您提出的“公立学校通过第三方招聘学生是否合法”的问题，我们可以从以下几个方面进行详细分析：

首先，我们需要明确的是，公立学校的招生工作通常受到严格的监管和规范。根据教育部的相关规定，公立学校的招生计划、招生程序以及招生资格等都需要经过教育行政部门的严格审核和批准。这是为了确保招生工作的公平、公正和透明，维护考生的正当权益。

接下来，我们来看第三方招聘的情况。在一般情况下，公立学校并不会通过第三方机构来招聘学生。因为公立学校的招生工作通常由学校自身或教育行政部门直接负责，以确保招生过程的规范性和合法性。如果公立学校通过第三方机构进行招生，这可能会引发一系列问题，如招生信息的真实性、招生程序的公正性以及考生权益的保障等。

进一步地，我们可以参考教育部发布的相关通知和措施。例如，教育部曾发出通知要求各地认真贯彻六项严格措施对违规招生和中介诈骗进行综合治理，其中明确提到严禁高校组织在校学生、雇用社会人员、委托中学教师或中介机构组织生源和介入招生录取工作。这一规定实际上也间接说明了公立学校（包括高校）不应通过第三方机构进行招生。

此外，我们还需要注意到，如果第三方机构未经许可从事招生工作，并以此为名进行欺诈或违规行为，那么这不仅违反了教育部的相关规定，还可能触犯法律法规，受到相应的法律制裁。

综上所述，公立学校通过第三方招聘学生是不合法的。公立学校的招生工作应由学校自身或教育行政部门直接负责，以确保招生过程的规范性和合法性。如果您在招生过程中遇到任何疑问或问题，建议直接联系相关学校或教育行政部门进行咨询和核实。