可以起诉医院，但需根据具体情况分析胜诉可能性及法律途径。以下从不同角度为您详细分析：

一、法律背景与依据

根据《中华人民共和国母婴保健法》及相关规定，医疗机构有义务为新生儿出具出生医学证明。这一规定旨在保障新生儿的合法权益，包括户籍登记、社会保障等。若医院无正当理由拒绝办理出生证，可能构成违法行为。

二、可能的情况与法律建议

1. 医院无正当理由拒绝

   • 情况分析：若医院无法提供合理理由（如医疗记录缺失、父母身份无法确认等）而拒绝办理出生证，则可能构成行政不作为或侵权。
   • 法律建议：您可以先尝试与医院协商，要求其出具书面拒绝理由。若协商无果，可向当地卫生行政部门投诉，要求其介入调查并责令医院改正。同时，您也可以考虑通过法律途径起诉医院，要求其履行法定职责并赔偿因此造成的损失。

2. 医院有合理理由但处理不当

   • 情况分析：在某些情况下，医院可能因医疗记录缺失、父母身份无法确认等合理理由而暂时无法办理出生证。但若医院未积极采取措施（如协助补全材料、进行亲子鉴定等）以解决问题，则可能构成处理不当。
   • 法律建议：您可以要求医院明确告知所需材料及补全方式，并积极配合提供。若医院仍不办理，您可向卫生行政部门反映情况，并考虑起诉医院要求其履行职责。

3. 私生子身份问题

   • 情况分析：私生子（非婚生子女）与婚生子女享有同等的法律权利。医院不得因新生儿为私生子而拒绝办理出生证。
   • 法律建议：若医院以私生子身份为由拒绝办理，您可明确告知医院其法律义务，并要求其立即办理。若医院仍拒绝，您可通过法律途径维护自己和孩子的合法权益。

三、起诉前的准备与流程

1. 收集证据：包括与医院的沟通记录、医院的拒绝理由（如有）、孩子的出生证明相关材料（如接生记录、父母身份证明等）。
2. 撰写起诉状：明确诉讼请求（如要求医院办理出生证、赔偿损失等）、事实与理由（包括医院拒绝办理的情况、法律依据等）。
3. 提交法院：将起诉状及相关证据提交至有管辖权的人民法院。
4. 参与诉讼：按照法院通知的时间、地点参与诉讼活动，包括庭审、调解等。

四、可能的法律后果

• 若胜诉：法院可能判决医院立即办理出生证，并赔偿因此造成的损失（如交通费、误工费等）。
• 若败诉：则需分析败诉原因，如证据不足、法律适用错误等，并考虑是否上诉或采取其他法律措施。

最后提醒，在处理此类问题时，务必保持冷静与理性，通过合法途径维护自己和孩子的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。