针对您提出的问题，即“妈妈是13岁孩子的监护人，孩子出国留学需要爸爸签字，爸爸可以不签字吗”，以下是我的详细解答：
首先，我们需要明确的是，对于未成年子女出国留学的相关手续，通常涉及到监护人的同意和签字。在大多数情况下，如果父母双方都是孩子的法定监护人，那么对于涉及孩子重大权益的事项，如出国留学，通常需要父母双方的共同同意和签字。
现在，针对您提到的具体情况，即妈妈是孩子的监护人，但孩子出国留学需要爸爸的签字，我们可以从以下几个方面进行分析：
法定监护人的权利与义务：
- 父母双方作为孩子的法定监护人，都有权利和义务参与孩子重大决策的制定，包括出国留学这样的重要事项。
- 除非有法律上的特殊规定（如一方监护人被剥夺监护权），否则任何一方监护人都不能单独决定涉及孩子重大权益的事项。
爸爸签字的必要性：
- 如果孩子出国留学需要爸爸的签字，这通常意味着该手续或文件需要父母双方的共同确认。
- 爸爸作为孩子的法定监护人之一，他的签字是表示对孩子出国留学这一决定的认可和同意。
爸爸不签字的后果：
- 如果爸爸拒绝签字，这可能会影响到孩子出国留学的手续办理。
- 在某些情况下，如果无法获得爸爸的签字，可能需要通过法律途径来解决监护权的问题，或者寻求其他合法的解决方案。
建议与解决方案：
- 首先，建议父母双方进行充分的沟通和协商，以达成对孩子出国留学的共同意见。
- 如果爸爸因为某些原因无法亲自签字，可以考虑通过公证委托的方式，由爸爸委托妈妈或其他可信的人代为签字。但这种方式需要符合相关法律的规定，并确保委托的真实性和合法性。
- 如果无法达成共识或无法通过合法途径解决，可能需要寻求法律援助或咨询专业律师的意见。
综上所述，对于孩子出国留学需要爸爸签字的问题，爸爸作为孩子的法定监护人之一，他的签字通常是必要的。如果爸爸拒绝签字，可能会影响到手续的办理。因此，建议父母双方进行充分的沟通和协商，以达成共同意见，并确保手续的合法性和有效性。