小区居民楼内出租制作炸鸡，物业管理部门是否承担管理责任，需视具体情况而定，但通常物业管理部门需承担一定的管理责任。以下从不同角度进行分析：

物业管理部门的基本职责

物业管理部门作为小区的管理者，其基本职责包括维护小区的公共秩序、安全、环境卫生等。对于小区内可能存在的安全隐患或违规行为，物业管理部门有义务进行监管和制止。

制作炸鸡可能带来的问题

1. 安全隐患：制作炸鸡过程中可能产生油烟、火灾等安全隐患。如果出租的房屋内未配备相应的消防设施或通风设备，一旦发生火灾等事故，后果将不堪设想。
2. 环境卫生：炸鸡制作过程中可能产生大量油烟和垃圾，如果处理不当，将对小区的环境卫生造成严重影响。
3. 噪音扰民：炸鸡制作过程中可能产生噪音，影响周边居民的正常生活。

物业管理部门的管理责任

1. 监管责任：物业管理部门应对小区内的出租房屋进行定期巡查，发现存在安全隐患或违规行为的，应及时制止并报告相关部门。如果物业管理部门未履行监管职责，导致事故发生，可能需要承担相应的管理责任。
2. 协调责任：对于小区内因制作炸鸡等引发的纠纷或投诉，物业管理部门应积极协调解决，维护小区的和谐稳定。如果物业管理部门未能有效协调，导致纠纷升级或影响小区秩序，也可能需要承担一定的责任。
3. 法律责任：根据相关法律法规，物业管理部门对小区内的公共安全、环境卫生等负有管理责任。如果因物业管理部门的管理不善导致事故发生或造成损失，物业管理部门可能需要承担相应的法律责任。

具体责任判定

1. 如果物业管理部门已履行监管职责：即已对出租房屋进行定期巡查，发现制作炸鸡可能存在的安全隐患或违规行为后及时制止并报告相关部门，但因出租方或承租方未配合整改导致事故发生，物业管理部门可能不承担主要责任。
2. 如果物业管理部门未履行监管职责：即未对出租房屋进行定期巡查，或发现制作炸鸡可能存在的安全隐患或违规行为后未及时制止并报告相关部门，导致事故发生，物业管理部门可能需要承担相应的管理责任。

建议与措施

1. 加强监管：物业管理部门应加强对小区内出租房屋的监管力度，定期巡查并记录巡查情况。
2. 完善制度：建立健全小区内的管理制度和应急预案，明确各方责任和义务。
3. 加强沟通：与出租方和承租方保持密切沟通，及时了解并解决存在的问题。
4. 法律途径：如果因制作炸鸡等引发纠纷或损失，可通过法律途径解决，维护自身合法权益。

如果小区居民楼内出租制作炸鸡引发了问题，物业管理部门通常需承担一定的管理责任。但具体责任大小需根据物业管理部门是否履行监管职责、事故发生的直接原因等因素进行综合判断。如果有任何法律问题，可以直接向我咨询。