当遇到对方全责但只愿意赔偿交强险而不赔偿商业险的情况时，您可以按照以下步骤来处理：

一、了解交强险的赔偿范围

首先，要明确交强险的赔偿限额。交强险会在责任限额内赔偿，通常包括医疗费用限额（如1.8万元）、死亡伤残限额（如18万元）以及财产损失限额（如2000元）。如果事故造成的损失超过了这些限额，那么超出部分需要由对方车主个人承担。

二、与对方车主协商

1. 尝试沟通：与对方车主进行沟通，说明事故造成的损失已经超过了交强险的赔偿范围，希望对方能够用个人财产或商业险（如果有）来补足差额。
2. 保留证据：在协商过程中，务必保留好所有与事故相关的证据，如医疗费用凭证、车辆损失评估报告、交通事故责任认定书等。这些证据在后续的法律程序中可能会起到关键作用。

三、通过法律途径解决

如果与对方车主协商无果，您可以通过法律途径来维护自己的权益：

1. 收集证据：除了之前保留的证据外，还可以进一步收集如病历、诊断证明、费用票据、维修发票等能证明事故发生及您损失的材料。
2. 提起民事诉讼：向事故发生地或被告住所地的人民法院提起民事诉讼。在起诉状中明确诉讼请求，如要求赔偿医疗费、误工费、财产损失等，并附上相关证据。
3. 参与庭审：法院受理后会安排开庭审理。在庭审中，您需要举证证明自己的损失及对方应承担的责任。如果法院支持您的诉求，会依法作出判决。
4. 申请强制执行：如果对方不履行判决，您可以在规定时间内申请强制执行。法院有权采取多种措施来查询、冻结、划拨对方的财产，以实现赔偿。

四、注意事项

1. 积极行动：面对这种情况，务必积极行动，不要拖延时间。因为时间越长，证据可能越难收集，且对方的财产状况也可能发生变化。
2. 咨询专业律师：在处理过程中，如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，可以咨询专业律师。律师能够为您提供更具体的法律建议和指导。

总之，当遇到对方全责但只赔交强险不赔商业险的情况时，您应首先了解交强险的赔偿范围，并与对方车主进行协商。如果协商无果，则可以通过法律途径来维护自己的权益。在整个过程中，务必保留好相关证据，并积极行动以争取最大的赔偿。