当第三方责任人承担发票开具责任时，发票的开具应遵循《中华人民共和国发票管理办法》的相关规定。以下是详细的开具流程和分析：

一. 确认发票开具责任

根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。因此，无论是否有第三方责任人承担，发票的开具责任原则上仍由收款方承担。但如果在实际交易中，双方约定由第三方责任人承担发票开具责任，且该约定不违反法律法规的强制性规定，则该约定有效。

二. 发票开具流程

1. 准备阶段

   • 确保第三方责任人已经安装了税控装置或者非税控电子器具，并按规定进行备案和报送数据。
   • 如果使用电子发票，应遵守国务院税务主管部门的规定。

2. 开票操作

   • 登录开票软件：第三方责任人打开开票软件，输入用户名和密码登录。
   • 选择发票种类：进入发票管理界面，选择“发票填开”，然后选择要开具的发票种类。
   • 填写发票信息：准确填写发票的相关信息，包括购货方（即付款方）的名称、纳税人识别号、地址电话、银行账号等，以及商品或服务的名称、数量、单价、金额、税额等。
   • 核对并打印：核对并确认发票信息无误后，进行打印。打印时需注意发票号与开票软件中的发票号一致，并确保打印位置准确。

3. 后续操作

   • 保存并报送数据：开具发票后，第三方责任人应按规定保存并报送开具发票的数据至主管税务机关。
   • 电子发票管理：对于电子发票，应确保电子发票信息系统的安全性和稳定性，并遵守相关规定进行电子发票的开具、传输、接收和存储等操作。

三. 注意事项

1. 合规性：确保发票的开具符合相关税收法律法规的规定，避免虚开、假开等违法行为。任何单位和个人在开具发票时都必须严格遵守《中华人民共和国发票管理办法》的相关规定。
2. 真实性：发票的内容应真实反映交易情况，不得虚报、瞒报。发票上的商品或服务名称、数量、单价、金额等信息应与实际交易相符。
3. 准确性：发票的填写应准确无误，避免因填写错误导致的税务风险。特别是纳税人识别号等关键信息，一旦填写错误可能影响发票的认证和抵扣。

四. 特殊情况处理

如果在实际交易中，存在特殊情况导致发票开具责任难以确定或存在争议，建议双方及时沟通协商，并咨询当地税务机关或专业律师的意见。

我的观点：在涉及第三方责任人承担发票开具责任的情况下，双方应明确约定相关责任和义务，并确保发票的开具符合法律法规的规定。如有任何疑问或争议，建议及时咨询当地税务机关或专业律师的意见。如有进一步需要，您可以继续咨询我。