核心结论：农民工在私立公司工作但未签订劳动合同，可通过收集证据证明劳动关系，进而主张工资、社保等权益，必要时可申请劳动仲裁或提起诉讼。以下是具体分析：

1. 证明劳动关系的存在

• 关键证据：即使没有书面合同，也可通过其他证据证明劳动关系，如：
  • 工资支付记录（银行转账记录、微信/支付宝转账记录等）；
  • 工作证、工牌、考勤记录（如打卡记录、签到表）；
  • 同事证言（其他员工的书面或录音证言）；
  • 工作邮件、微信聊天记录（涉及工作安排、任务分配的内容）；
  • 工作成果（如完成的文件、设计图、施工记录等）。
• 法律依据：根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》（劳社部发〔2005〕12号），上述证据可辅助认定劳动关系。

2. 主张未签订劳动合同的双倍工资

• 法律依据：根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未签订书面劳动合同的，应向劳动者每月支付双倍工资。
• 计算方式：双倍工资差额=月工资×未签合同月数（最多11个月）。
• 注意：需在劳动关系终止后1年内申请劳动仲裁，否则可能超过时效。

3. 追讨拖欠工资

• 途径：
  1. 向劳动监察部门投诉（如当地劳动保障监察大队）；
  2. 申请劳动仲裁（主张工资、加班费、经济补偿等）；
  3. 提起诉讼（对仲裁结果不服的，可向法院起诉）。
• 证据：工资支付记录、考勤记录、工作证等（同上）。

4. 要求补缴社保

• 法律依据：根据《社会保险法》，用人单位必须为员工缴纳社保。
• 途径：
  1. 向社保部门投诉（要求补缴）；
  2. 在劳动仲裁中一并主张（部分地区支持）。
• 注意：社保补缴可能涉及滞纳金，需尽快处理。

5. 其他权益

• 经济补偿：若因未签合同或未缴社保被迫离职，可主张经济补偿（按工作年限，每满1年支付1个月工资）。
• 工伤赔偿：若发生工伤，可申请工伤认定并主张赔偿（即使未签合同，只要存在劳动关系即可）。

6. 操作建议

• 第一步：收集证据（优先保存工资记录、工作证、聊天记录等）；
• 第二步：与用人单位协商（可录音留存证据）；
• 第三步：向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁（需提交仲裁申请书及证据）；
• 第四步：若对仲裁结果不服，可在15日内向法院起诉。

总结：未签合同不影响劳动关系的认定，关键是通过证据证明事实劳动关系。建议尽快行动，避免超过仲裁时效。如有具体问题（如证据收集、仲裁流程等），可直接向我咨询，我会进一步为您分析。