结论前置：即使未签订书面合同，对方仍负有开具仓储费发票的法定义务，您可通过协商、投诉或诉讼途径主张权利。以下是具体分析：
1. 合同形式不影响发票开具义务
根据《民法典》第四百六十九条及《发票管理办法》第十九条，合同形式（书面/口头）不影响双方实际履行中的权利义务。您已按月支付仓储费，对方实际提供仓储服务，双方已形成事实合同关系。对方以“未签合同”为由拒开发票，缺乏法律依据。
2. 对方拒开发票的违法性
- 税务违法：根据《发票管理办法》第三十五条，未按规定开具发票的，由税务机关责令改正，可处1万元以下罚款；有违法所得的予以没收。
- 民事违约：若对方收取费用却拒开发票，可能构成对《民法典》第五百七十九条（履行义务）的违反，您有权要求其继续履行或赔偿损失。
3. 您的维权路径
（1）协商催告
- 书面催告：向对方发送《催告函》，明确要求其在指定期限内开具发票，并保留送达证据（如邮寄回执、微信记录）。
- 口头协商：若对方以“内部流程”等理由拖延，可要求其出具书面说明，为后续投诉或诉讼留存证据。
（2）向税务机关投诉
- 投诉渠道：拨打12366纳税服务热线，或通过当地税务局官网“举报投诉”栏目提交材料。
- 所需材料：付款凭证（银行流水、收据等）、仓储服务证明（如出入库记录、沟通记录）、催告函及送达证据。
- 处理结果：税务机关将调查核实，责令对方限期整改；逾期未改的，可对其罚款并强制代开发票。
（3）民事诉讼
- 案由选择：以“服务合同纠纷”或“不当得利纠纷”起诉，要求对方开具发票并赔偿损失（如因未开发票导致的多缴税款、行政处罚等）。
- 证据清单：付款记录、仓储服务证明、催告函及送达证据、税务机关处理结果（如有）。
- 诉讼提示：若发票金额较小，需权衡诉讼成本（时间、律师费等）；若金额较大，建议委托律师处理。
4. 风险提示
- 对方可能主张的抗辩：对方可能以“未签合同故无义务”为由抗辩，但法院可能根据实际履行情况认定合同存在，并支持您的诉求。
- 您的举证责任：需证明双方存在仓储服务关系（如付款记录、服务内容证明），对方拒开发票的事实（如催告函、沟通记录）。
建议行动步骤：
- 立即向对方发送书面催告函，要求限期开具发票；
- 若对方仍拒绝，向当地税务局投诉并提交材料；
- 根据投诉结果，决定是否提起民事诉讼。
如有进一步疑问或需协助起草催告函、投诉材料，可直接向我咨询。