被银行起诉后，其不能直接冻结其他银行的银行卡。冻结银行卡通常需要通过法院裁定，并且取决于多个法律因素和实际操作程序。以下是对此问题的详细分析：
一. 冻结银行卡的前提条件与法律程序
申请与裁定：在法院起诉过程中，原告（此处指起诉的银行）有权向法院申请财产保全措施，包括冻结被告的银行卡。但这需要原告提供担保，并且法院会对申请进行审查，在认为符合法定条件时才会作出冻结裁定。
执行与查询：即使法院作出了冻结裁定，实际执行过程中也可能受限于信息获取程度、执行效率等因素，不一定能立即冻结所有银行卡。法院会通过网络执行查控系统等方式查询并冻结被执行人名下的银行卡账户。
二. 冻结银行卡的范围与期限
冻结范围：法院会根据案件的具体情况和原告的申请，合理确定需要冻结的银行卡范围。一般来说，法院会优先冻结与案件标的金额相当的资金。
冻结期限：根据法律规定，人民法院冻结被执行人的银行存款及其他资金的期限不得超过一定期限（如六个月）。如需延长冻结期限，申请执行人应在冻结期限届满前办理续行冻结手续。
三. 解冻银行卡的途径
履行义务：如果被告在判决前或判决后完全履行了偿还义务，法院会解除对银行卡的冻结。
申请解冻：如果被告认为法院的冻结裁定有误或存在其他合理情况，可以向法院提出申请解冻，并提供相关证据以支持其申请。
我的观点：因此，一家银行起诉其他银行或个人后，并不能直接冻结对方的银行卡。冻结银行卡需要经过法院的裁定，并且遵循严格的法律程序和条件。如果您面临类似情况，建议及时咨询专业律师以获取准确的法律意见和帮助。