针对您提出的“合同到期公司不续签，但有甲状腺癌手术，怎么赔偿”的问题，我们可以从以下几个方面进行详细解答：
一、合同到期不续签的基本赔偿原则
根据我国《劳动合同法》的相关规定，当劳动合同在自然期满时终止，且劳动者愿意续约的情况下，用人单位应当依法与其签订新的合同。如果用人单位明确表示不再与劳动者续约，那么必须向劳动者支付相应的经济补偿金。经济补偿金的计算方式通常是：每服务满一年便需发放其一个月的标准工资。这里的“月工资”指的是劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
二、针对您特殊情况的考虑
医疗期与合同续签：
- 如果您在合同到期时正处于医疗期（如因甲状腺癌手术需要休养），根据相关法律法规，用人单位通常不能直接终止劳动合同，而应等到医疗期结束后再进行考虑。
- 如果医疗期结束后，您仍然无法从事原工作，也无法从事用人单位另行安排的工作，那么用人单位可以提前三十日以书面形式通知您本人或者额外支付您一个月工资后，解除劳动合同，并支付相应的经济补偿金。
无固定期限劳动合同的续订：
- 如果您已经符合签订无固定期限劳动合同的条件（如连续工作满十年、连续订立两次固定期限劳动合同等），而用人单位拒绝续订，那么这将被视为违法行为。
- 在这种情况下，用人单位除了需要支付经济补偿金外，还可能需要向您支付赔偿金，具体金额为每服务满一年支付两个月的标准工资。
三、您的具体行动建议
与用人单位沟通：
- 首先，您可以与用人单位进行沟通，了解他们不续签合同的具体原因，并表达您希望续签合同的意愿。
- 如果用人单位以您患有甲状腺癌为由拒绝续签，您可以指出这违反了相关法律法规，并要求他们依法支付经济补偿金。
收集证据并申请劳动仲裁：
- 如果沟通无果，您可以收集相关证据（如劳动合同、工资单、医疗证明等），向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
- 劳动仲裁委员会将根据您的申请和提供的证据进行裁决，如果裁决支持您的诉求，用人单位将需要支付相应的经济补偿金或赔偿金。
寻求法律援助：
- 如果您在劳动仲裁过程中遇到困难或需要法律帮助，您可以寻求专业的法律援助或咨询律师。
综上所述，针对您的情况，如果合同到期公司不续签，您有权要求用人单位支付相应的经济补偿金。如果用人单位拒绝支付或存在其他违法行为，您可以通过法律途径维护自己的合法权益。