针对您提出的“没有合同开除员工怎么赔偿”的问题，我将为您详细解答。

首先，需要明确的是，即使没有签订书面劳动合同，用人单位与劳动者之间仍然存在事实劳动关系，劳动者的合法权益同样受到法律保护。当用人单位在没有合同的情况下开除员工时，赔偿方式主要依据以下几种情形来确定：

一、未签订书面劳动合同的赔偿

如果用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，那么根据法律规定，用人单位应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一赔偿是对用人单位未履行签订书面劳动合同义务的惩罚，也是对劳动者权益的一种保障。

二、违法解除劳动关系的赔偿

若用人单位在没有合同的情况下违法开除员工，即无正当理由或未按照法定程序解除劳动关系，那么用人单位需要按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的计算标准是：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，违法解除劳动关系的赔偿金就是这一经济补偿标准的二倍。

三、具体赔偿计算示例

假设某员工在用人单位工作了2年，月工资为5000元，且用人单位自用工之日起超过一个月未与该员工签订书面劳动合同，并违法解除了劳动关系。那么，该员工应得的赔偿包括：

1. 未签订书面劳动合同的赔偿：由于工作超过了1个月但不满1年（此处按最长可能情况即接近1年但未满计算，实际根据具体工作月数确定），用人单位需支付最多11个月的双倍工资差额（即11个月×5000元/月=55000元，但需注意这是基于最长可能情况的估算，实际应按月数计算）。不过，更准确的计算是，从第二个月开始到解除合同前一个月，每月支付双倍工资差额。

2. 违法解除劳动关系的赔偿：经济补偿为2年×5000元/年=10000元（按每满一年支付一个月工资计算），因此违法解除的赔偿金为10000元×2=20000元。

综合以上两项，该员工应得的总赔偿将包括未签订书面劳动合同的赔偿（具体数额根据实际工作月数计算）和违法解除劳动关系的赔偿金20000元。

四、维权建议

1. 收集证据：劳动者应尽可能收集能够证明劳动关系的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等。

2. 协商解决：首先尝试与用人单位协商解决赔偿问题，要求用人单位依法支付赔偿金。

3. 投诉与仲裁：如果协商不成，劳动者可以向劳动监察部门投诉，由劳动监察部门责令用人单位限期支付；也可以申请劳动仲裁，通过法律途径维护自身合法权益。

总之，没有合同开除员工时，用人单位需承担相应的法律责任，支付双倍工资及赔偿金等。劳动者应了解自己的权益，积极收集证据，通过合法途径维护自身权益。