对于“违法开除员工且没有签订劳动合同应如何赔偿”的问题，以下是根据相关法律法规提供的详细解答：
一、主要赔偿项目及法律依据
未签订书面劳动合同的双倍工资
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 计算期间：从用工之日起满一个月的次日至补订书面劳动合同的前一日，或自用工之日起满一年的前一日（最长不超过11个月）。
- 计算基数：通常指劳动者正常出勤的月工资应发工资，不包括加班工资、非常规性奖金等额外收入。
违法解除劳动关系的赔偿金
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 计算标准：赔偿金按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付两个月工资作为赔偿金；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付一个月工资的赔偿金。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
二、实例分析
以员工A为例，其于2023年5月1日入职某公司，月工资为6000元，公司一直未与其签订劳动合同，2024年2月1日，公司无故将A开除。
- 未签订书面劳动合同的双倍工资：从2023年6月1日至2024年1月31日，共计8个月（因满一个月次日起算，且最长不超过11个月），双倍工资差额为6000×8=48000元。
- 违法解除劳动关系的赔偿金：A在公司工作了9个月（不满一年按一年计），赔偿金为6000×2=12000元。
因此，公司总共需要向A支付60000元（48000+12000）的赔偿。
三、维权步骤与建议
为了维护自己的合法权益并顺利获得赔偿，建议员工采取以下步骤：
- 保留证据：务必保留好与劳动关系相关的所有证据，如工资支付凭证、工作证、考勤记录、银行流水等，以证明劳动关系的存在和工资水平。
- 与用人单位协商解决：首先尝试通过沟通解决问题，要求用人单位支付相应的赔偿。
- 向劳动监察部门投诉：如协商不成，可向当地劳动监察部门投诉，由劳动监察部门进行调查并处理。
- 申请劳动仲裁：若问题仍未解决，可依法向劳动仲裁委员会提起仲裁申请，通过仲裁程序解决争议。
- 提起诉讼：对仲裁结果不服时，可向人民法院提起诉讼，通过司法程序维护自己的合法权益。
在整个维权过程中，建议咨询专业律师以获取最准确的法律意见和解决方案，确保自己的权益得到充分保障。