在交通事故中，若一方被认定为全责，关于保险公司是否应该垫付医药费的问题，这并非一个简单的“是”或“否”的答案，而是需要依据具体情况、法律规定以及保险条款来综合判断。
首先，从法律责任的角度来看：
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，机动车发生交通事故造成损害且属于该机动车一方责任的，先由承保机动车强制保险的保险人在强制保险责任限额范围内赔偿。这意味着，在交强险的责任限额内，保险公司有义务对受害人的医药费进行赔偿。如果交强险的赔偿限额不足以覆盖全部医药费，那么超出部分将由商业险保险人按合同约定赔偿；若仍不足或未投保商业险，则由侵权人（即肇事者）赔偿。
其次，从保险公司的垫付情况来看：
交强险垫付：依据《机动车交通事故责任强制保险条例》，在被保险机动车发生道路交通事故造成受害人伤亡时，保险公司需在交强险责任限额内赔偿。在特定情形下（如驾驶人未取得驾驶资格、醉酒驾驶、机动车被盗抢期间肇事、被保险人故意制造事故等），保险公司还需垫付抢救费用，并有权向致害人追偿。
商业险垫付：商业第三者责任险是否垫付医药费则取决于保险合同的约定。部分保险合同可能允许在特定条件下提前垫付医疗费用，但这并非保险公司的普遍强制义务。
再者，从实际操作的角度来看：
如果全责方或其保险公司不愿立即垫付医药费，而受害人又急需治疗，那么受害人可能需先自行垫付医药费以获得及时救治。后续，受害人可以通过协商、调解或诉讼等法律途径要求责任方赔偿。
在协商过程中，全责方的保险公司通常会在交强险责任限额范围内对医药费进行赔偿。如果超出交强险限额，且全责方投保了商业险，那么保险公司可能会根据商业险合同进行进一步赔偿。
如果协商、调解不成，受害人可以向法院起诉，要求全责方及其保险公司承担赔偿责任。法院将根据双方提供的证据和责任划分作出判决，明确医药费等赔偿费用的支付责任人和支付方式。
最后，需要强调的是：
虽然全责方在法律上并没有必须垫付医药费的强制义务，但从人道主义和实际救助的角度出发，先行垫付有助于及时救助伤者。如果全责方不愿垫付，受害人可以申请交强险的垫付，或者通过交警部门协调解决。同时，受害人也应积极利用法律武器和保险资源来维护自身权益。
综上所述，交通事故全责医药费的垫付问题并非一成不变，而是需要根据具体情况、法律规定以及保险条款来综合判断和处理。