商场买的公众责任险一般不赔偿客户带的宠物受到的损害。下面我来详细解释一下：

公众责任险主要是为商场等公共场所的所有人或管理人提供的一种保障，当其在公共场所因过失造成他人人身伤亡或财产损失时，由保险公司承担相应的赔偿责任。这里的“他人”通常指的是除投保人、被保险人及其雇员以外的第三者，而宠物并不包含在内。

首先，从公众责任险的定义来看，它主要是为第三者的人身伤亡和财产损失提供保障，而宠物并不属于这一范畴。宠物是客户的个人财产，且其受到的损害往往与人的过失行为有直接关系，比如被踩踏、被惊吓等，这些通常不属于公众责任险的赔偿范围。

其次，即使有些公众责任险的条款中可能包含了对于宠物损害的赔偿，这也往往是在特定的条件下，比如宠物是在商场内因商场的过失而受到伤害。但这种情况下的赔偿通常也是有限的，并且需要具体的条款支持。

因此，如果你带着宠物在商场内，宠物受到了损害，一般来说是不能通过商场的公众责任险来获得赔偿的。如果宠物受到了伤害，你应该首先与商场协商，看是否能够达成赔偿协议。如果协商无果，你可以考虑通过法律途径来维护自己的权益，比如起诉商场要求赔偿。

总之，商场买的公众责任险一般不赔偿客户带的宠物受到的损害。如果你有相关的问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。